Etude de la conjecture/suite de Syracuse

[invite30ab11b1]

Bonjour.

Alors, tout d'abord, non, je n'ai pas de licence, master, doctorat ou diplôme d'ingénieur en mathématiques, je le précise d'entrée, puisque sur d'autres forums, j'ai vu que certains se voyaient répondre que si ça n'était pas le cas, il n'avait pas les compétences nécessaires pour simplement faire une tentative d'ébauche de démonstation.

J'ai simplement suivi une fillière scientifique et m'intéresse à ce domaine, j'ai eu connaissance de cette conjecture durant ma classe de 1ère, durant laquelle notre professeur nous a stipulé, que si on voulait s'amuser, (LOL), elle a été vérifiée jusqu'à des nombres astronomiques, mais jamais prouvée.

Pour rappel, voici l'énoncé : "On part d'un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur"

Ecrit de façon plus "mathématiques", ça donne U_n+1 = U_n/2 si pair et 3U_n si impair.

Par conséquent, tout nombre impair multiplié par 3 auquel on ajoute 1 donnant forcément un résultat pair, quelque soit le nombre de départ, la probabilité de tomber sur un résultat pair sera toujours plus grande que celle de tomber sur un résultat impair, on peut donc supposer qu'on finira toujours par retomber sur un résultat pair, qui sera donc divisé par 2, donc la suite ne pourra que finir par diminuer, et donc tendre vers 1.

Pour écrire sous forme plus mathématiques encore une fois, si I un nombre impair et P un nombre pair :
Ci-dessous, "x P" et "y I" signifie x chance de tomber sur un nombre pair et y chance de tomber sur un nombre impair
Un = I
Un+1 = P --> 1
Un+2 = 1 P et 1 I --> 2
Un+4 = 2 P et 1 I --> 3
Un+5 = 3 P et 2 I --> 5
Un+6 = 5 P et 3 I --> 8
Un+7 = 8 P et 5 I --> 13
Un+8 = 13 P et 8 I --> 21
Un+9 = 21 P et 13 I --> 34
Un+10 = 34 P et 21 I --> 55
La flèche indique le nombre totale de possibilités.

Comme on le constate, on a TOUJOURS plus de chance de tomber sur un pair que sur un impair, donc toujours plus de chance de divisé par 2, donc la suite finira par tendre vers 1.

J'avais aussi constaté que :
-Tout nombre pair peut s'écrire sous la forme 3A + 2ⁿ + P où P est un nombre pair
-Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme 3A + 2ⁿ + I où I est un nombre impair

Voilà, je sais bien que cela ne prouve pas grand chose mais si vous avez des commentaires je suis preneur, cette suite m'intrigue beaucoup. Aussi, j'ai créé le post surtout pour ça d'ailleurs, j'aimerais savoir, d'après vous, "vers où" faut-il se diriger pour tenter de réussir à démontrer la véracité de l'énoncé, de mémoire, on m'avait dit qu'il semblerait que certains se dirigeaient vers les nombres complexes, est-ce aussi votre avis ?
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[stefjm]

Bonjour,
Il y a beaucoup de littérature sur le sujet.

Les thèmes dont vous parlez sont repris ici avec sources :
https://sciencetonnante.wordpress.co...e-de-syracuse/

Et pléthores d'autres :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...n/Syracuse.htm
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse
https://fr.wikipedia.org/wiki/Demi-groupe_3x%2B1

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Si on savait ""vers où" faut-il se diriger", il y aurait des tentatives très profondes de preuve. Mais justement, actuellement, il n'y a aucune direction reconnue comme utile. Seulement sur les forums de maths, des propositions de preuves, toujours fausses, souvent lamentablement fausses (erreurs logiques évidentes, calculs faux, ..) parfois illisibles (des pages de calculs sans rime ni raison). Ne viens pas en rajouter une (mais je te sens raisonnable).
Si le sujet t'intéresse, tu peux jouer avec, mais il est très improbable qu'il existe une preuve élémentaire. Il y a des tas de jolis problèmes en maths qui permettent de faire bien mieux. Mais si c'est celui-ci qui t'intéresse, tu peux explorer les divers forums de maths (il y a en général un bouton "rechercher") sur les thèmes "suite de Syracuse", "conjecture de Collatz", "conjecture d'Ulam", "conjecture tchèque" ou "problème 3x + 1". Et chercher en quoi les prétendues preuves sont fausses.

Cordialement

[invite30ab11b1]

Bonjour.
Il n'y a aucune direction reconnue comme utile. Seulement sur les forums de maths, des propositions de preuves, toujours fausses, souvent lamentablement fausses (erreurs logiques évidentes, calculs faux, ..) parfois illisibles (des pages de calculs sans rime ni raison). Ne viens pas en rajouter une (mais je te sens raisonnable).
Si le sujet t'intéresse, tu peux jouer avec, mais il est très improbable qu'il existe une preuve élémentaire.

Oui, j'ai déjà recherché un peu évidemment, et j'ai constaté que beaucoup affirmaient avoir réussi une démonstration, mais comme tu dis, je suis raisonnable, j'ai bien conscience de ne pas avoir prouver qu'on retombera toujours sur 1, mais par contre, que la suite ne pourra que tendre vers 1 (enfin je crois).

Après il est vrai que, de prime abord, je ne vois pas de grand iintérêt à réussir à le prouver de toutes façons, mais il doit bien y avoir une solution (certes, inconnue actuellement) de prouver quelle finira toujours à 1, ou alors faut-il admette, que même en maths, toutes les théories ne peuvent pas être démontrées ?

Aussi s'il est possible d'avancer, ne serait-ce qu'un tout petit peu, je pense que ça ne sera pas "seul dans mon coin" que j'aurai le plus de chance d'y arriver, d'où l'intérêt d'utiliser le(s) forum(s).

Et aussi, si je poste sur un forum, ce n'est pas forcément en espérant prouver quelque chose, mais aussi pour que, si d'autres, avec un meilleur niveau que le mien, veulent partir de ça comme base de travail, il puisse le faire (même si ça parait un peu prétentieux de ma part, n'ayant pas fait d'études supérieure dans le domaine).

Quoiqu'il en soit, j'ai quand même étudier un peu la relation entre les nombres composants la suite, et en fait, chaque nombre ne dépend pas uniquement de son prédecesseur, comme dit dans l'énoncé que j'ai copié-collé. Je m'explique, en admettant la suite ci-dessous (où a est impair):
u₀ = a / u₁ = b / u₂ = c / u₃ = d / u₄ = e

Alors :

b = 3a+ 1

c = b/2 = (3a+1)/2

d = c/2 ou 3c+1 donc 2 solutions possibles :
-soit [(3a+1)/4]
-soit [(9a+5)/2]

e = d/2 ou 3d+1 donc 4 solutions possibles :
- soit [(26a+28)/16]
- soit [(3a+1)/8]
- soit [(54a+34)/4]
- soit [(9a+5)/4]

Je n'ai pas mis les détails de calcul car c'est difficile à écrire à l'ordinateur et il peut y avoir des erreurs, mais j'ai essayé en partant de 7 (chiffre impair), ainsi qu'avec quelques autre nombres impairs, et cela se vérifie.

Donc chaque nombre ne dépend pas que de son prédecesseur, mais aussi de u₀, même si c'est avec plusieurs possibilités chaque fois.

Si j'osais dire, il n'y aurait donc "plus qu'à" réussir à trouver la relation entre U_{n final} et u₀.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

faut-il admette, que même en maths, toutes les théories ne peuvent pas être démontrées ?

Dit comme cela : non, mais ce qu'il faut savoir c'est que dans beaucoup de théories il existe des propositions indécidables, c'est à dire dont on ne peut ni démontrer qu'elles sont "vraies" ni démontrer qu'elles sont "fausses" (dans le cadre de cette théorie). Il existe même des théories (comme l'arithmétique de Peano) qu'il est impossible de compléter (de façon raisonnable (récursive))

[invitedd63ac7a]

Quelques liens en rapport avec des recherches d'amateurs :

https://hal.archives-ouvertes - La suite de Syracuse un monde de Conjectures

Conj de Syracuse - Avancées inédites

Si vous connaissez un langage de programmation ce type de suite permet de faire des représentations graphiques particulières, par exemple sur un plan (comme la spirale d'Ulam...).
Il n'est pas garanti que vous allez trouver la propriété du siècle, mais au moins vous pourrez vous amuser et faire peut-être de jolis dessins.

Il y a des extensions du problème de Syracuse :
Mais c'est J. Conway qui a semé le doute. Plutôt que de ce demander
si un entier donné, au cours du calcul, était pair ou impair, c'est
à dire avait 0 ou 1 pour reste par la division euclidienne par 2,
il s'intéresse au reste par la division euclidienne par un entier p
et propose alors p formules à employer pour effectuer les calculs
selon ce que ce reste soit 0, 1, 2, .., ou p-1. Il a montré que si
alors on étendait la conjecture de Syracuse, on arrivait à un
problème indécidable.
http://faq.maths.free.fr/texte/faq54.html

[gg0]

Mlkgiosn :

mais il doit bien y avoir une solution (certes, inconnue actuellement) de prouver quelle finira toujours à 1

Ben non ! Il y a des tas de problèmes simples qui n'ont pas de solution. Par exemple trouver un entier qui, multiplié par 3 donne 10. Et des tas d'autres pour lesquels on a une preuve qu'il n'y a pas de solution. Tu confonds "avoir regardé quelques cas" et "être sûr que ça marche toujours".
Il est possible qu'en partant de n'importe quel nombre, de 1 jusqu'à , on termine sur 1 mais que pour , on retombe, après un grand nombre d'étapes sur . Il y a de nombreux cas connus de propriétés vraies jusqu'à un très grand nombre mais fausses par la suite.

Je te pensais raisonnable, mais je commence à douter. Pourquoi voudrais-tu que tes petits calculs que tout le monde a essayé apportent quoi que ce soit d'utile ? Irais-tu essayer de dire à Didier Deschamps comment il faut travailler sous prétexte que tu as entrainé une équipe de gamins dans une colo ?
Tu me trouves sans doute dur, mais c'est la réalité. Tu ne sais quasiment rien des maths, tu fais trois calculs de niveau fin de collège et tu crois utile de partager ?? Allez, reviens sur terre !

Cordialement.

[Merlin95]

Irais-tu essayer de dire à Didier Deschamps comment il faut travailler sous prétexte que tu as entrainé une équipe de gamins dans une colo ?

Bonjour,

ce n'est peut-être pas le meilleure exemple .

[Merlin95]

Annulé.... croisement

[invite30ab11b1]

Merci à tous.

Plus particulièrement pour gg0 : tu as peut-être un niveau très élevé en mathématiques (et encore, ça j'en sais rien), mais tu as encore quelques soucis concernant la langue française apparemment, ou alors tu fais parti de ces personnes qui ne lisent que partiellement les messages auxquels ils répondent.

Relis mes messages et tu verras que je différencie très bien "être vraie dans un très grand nombre de cas", et "être démontrée". Le pire c'est que j'en ai parlé dans mes 2 messages précédents d'ailleurs. J'ajouterai que j'ai précisé ne pas avoir de diplômes d'études supérieures dans le domaine, mais je n'ai rien dit sur mon niveau de maths, eh oui ! ce n'est pas parce que je n'ai pas fait d'études dans le domaine que j'ai un niveau médiocre. Et ce n'est pas non plus parce que les calculs que j'ai postés sont relativement faciles, que ce sont les seuls que je suis capable de faire. Donc non, je ne te trouve pas dur, mais plutôt très condescendant et arrogant.

Aussi ton comportement est d'autant plus inquiétant si l'âge que tu indiques dans ton profil est le vrai. Et il faut te remettre à l'ordre du jour, car les suites ne sont pas au programme du collège. En tout cas, elles ne l'étaient pas à mon époque, donc je pense que si les programmes ont changé, ce n'est pas dans ce sens.

En tout cas, le fait que des membres comme toi, qui sont là uniquement pour "descendre" tout le monde, restent indéfiniment sur les forum restera toujours un mystère pour moi.

Inutile de répondre, si toutefois tu n'avais pas compris par toi-même.

Encore merci aux autres.

[gg0]

Il n'y a pas de mystère : je suis sur le forum parce que je réponds sérieusement aux questions mathématiques sérieuses.

[Médiat]

Bonsoir,

Merci d'arrêter là les polémiques stériles !

Médiat

[obi76]

Bonjour,

Comme on le constate, on a TOUJOURS plus de chance de tomber sur un pair que sur un impair, donc toujours plus de chance de divisé par 2, donc la suite finira par tendre vers 1.

Déduction fausse. Si la probabilité de tomber sur un pair est inférieure à 2/3 (mais > 1/2, donc plus de chances quand meme de tomber sur un pair), ça diverge.

[invite3240c37d]

Concernant la conjecture de Collatz, j'avais trouver la démonstration ! Mais un bug de l'ordi a effacé le fichier ...