Bonjour tout le monde,
Après avoir réussi à classifier les groupes d'ordre 16 par la méthode classique utilisant le centre du groupe (voir pièce jointe) et le théorème de correspondance; voilà que je me penche actuellement sur la classification utilisant le théorème de Frattini.
Pour ceux qui ne connaissent pas le théorème de Frattini, le voici:
- Si G est un groupe d'ordre pn , où p est un nombre premier; soit F(G) l'intersection des sous-groupes maximaux de G (qui sont d'ailleurs distingués et d'ordre pn-1 ), alors le groupe quotient G/F(G) est un Kleinien (Z/pZ)k, avec k>=1.
En étudiant le groupe d'ordre 16 D4 * (Z/2Z), où D4 est le diédral d'ordre 8, je lui trouve seulement 5 sous-groupes maximaux: deux isomorphes à D4, 1 isomorphe à (Z/4Z)*(Z/2Z) et 2 isomorphes à (Z/2Z)3. Et si je fais l'intersection de ces sous-groupes pour obtenir le sous-groupe de Frattini, j'obtiens F(G) isomorphe à Z/2Z (c'est d'ailleurs égal au sous-groupe dérivé). Ainsi, comme 16 divisé par 2 fait 8, j'en déduis que G/F(G) est isomorphe à (Z/2Z)3
. J'en déduis ainsi que G/F(G) possède 7 sous-groupes d'ordre 4 et donc que G devrait avoir 7 sous-groupes d'ordre 8 et non seulement 5.
Je tourne le pb dans tous les sens, je ne vois pas du tout où il y a une erreur de raisonnement. Je vous remercie vraiment d'avance de votre aide.
J. Lapuyade
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