Théorème de lagrange sur les groupes .

[invite54a8a072]

Bonjour j'ai un soucis avec ce théorème :
Soit G un groupe finis et H un sous groupe de G , alors le cardinal de H divise le cardinal de G .

L'énoncé est simple mais il y a quelque chose que je ne dois pas comprendre , je donne un exemple :

considérons les groupes Z/16Z et Z/5Z (les groupes des congruences) munis de la loi multiplicative usuelle sur ces ensembles .

Z/5Z est un sous-ensemble de Z/16Z donc un sous groupe pourtant le cardinal de Z/5Z = 5 et celui de Z/16Z=16 et 5 ne divise pas 16 .

Comme ça on dirait un contre-exemple , mais je ne prétend pas être meilleurs que 2 siècles de mathématiciens , donc si vous pouviez m'indiquer où je me trompe ce serait super merci !
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Z/5Z n'est ni un sous ensemble (de manière evidente en tout cas, bien sur qu'on peut trouver une injection ensembliste de Z/5Z dans Z/16Z) et encore moins un sous groupe de Z/16Z (il ne sera pas possible de construire une injection respectant les lois de groupe de Z/5Z dans Z/16Z).
Au passage je suppose que le "multiplicative" est une type, Z/nZ est un groupe additif.

[invite9dc7b526]

Z/5Z est un sous-ensemble de Z/16Z donc un sous groupe

{2,3,57} est un sous-ensemble de Z mais n'en est pas un sous-groupe.

[Médiat]

Z/5Z est un sous-ensemble de Z/16Z donc un sous groupe

Bonjour,

Ce "donc" n'est absolument pas justifié ; {1} est un sous ensemble de Z, ce n'est pas un sous-groupe pour autant pour l'addition

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

3 réponses dans la même minute, mais c'est MiPaMa qui l'emporte d'une courte tête

[invite54a8a072]

@minushabens

oui je voulais dire :
Z/5Z est un sous ensemble de Z/16Z et un groupe , donc un sous-groupe de Z/16Z . Mais apparemment même ça c'est faux . Merci de votre réponse !

@MiPaMa

Vraiment désolé mais vous utilisez des notions que je n'ai pas encore vue (injection ensembliste?) , et bien que je suis sur que vous ayez raison, je suis toujours autant bloqué .
Par exemple je ne comprends pas comment se fait il que Z/5Z ne soit pas un sous ensemble de Z/16 Z ?
On a {0,1,2,3,4} inclus dans {0,1,2,...,14,15} non ?

La seule définition d'un sous groupe que je connaisse est la suivante et n'implique pas d'applications :
un sous groupe H de G :
-contient l'élément neutre de G
-Tous les éléments de H ont un inverse
-H est stable par la loi de G .

pour les lois multiplicatives et additives , c'est encore un point un peu obscur pour moi , je pensais d'abord que ce n'était qu'un moyen de différencier deux lois , mais j'ai cru comprendre qu'on utiliser le + en cas de commutativité .
C'est juste ?

Merci de votre réponse .

@Médiat

désolé pour mon imprécision , comme je l'ai dit plus haut , j'ai oublié d'ajouter que Z/5Z est un groupe .

[invite47ecce17]

Oui, mais Z/5Z n'est pas exactement {0,1,..., 5} (enfin il est possible qu'on te l'ai defini comme cela, et qu'on ai ensuite defini "à la main" la loi de groupe, mais ca m'etonnerait).
Quand je dis injection ensembliste, je parle juste d'application injective. Je rajoute le terme ensembliste pour insister sur le fait qu'on ne lui ne demande pas d'etre en plus un morphisme de groupe.
Peux tu nous donner ta définition de Z/5Z?

Pour l'additive et multiplicative, tu as raison oui, mais il y a deux lois "traditionnelles" sur Z/nZ (qui sont les meme que sur Z, + et x) et Z/nZ n'est un groupe que pour l'une d'entre elles, à savoir +.

[invite54a8a072]

3 réponses dans la même minute, mais c'est MiPaMa qui l'emporte d'une courte tête

oui c'est impressionnant , j'espère que ce forum restera longtemps aussi actif , il vaut presque un bon prof .

[gg0]

Bonjour.

Z/5Z n'est pas à priori {0,1,2,3,4}, mais {classe(0),classe(1),classe(2} ,classe(3),classe(4)}. Et même si on note 3 la classe de 3, ce 3 n'est pas l'entier 3 : par exemple 3+3=1, pas 6.

Cordialement.

[invite54a8a072]

oui à vrai dire c'est uniquement dans le cadre de l'arithmétique qu'il a été défini (pour moi) , donc pour moi Z/5Z c'est l'ensemble des entiers naturels modulo 5 .

[invite47ecce17]

Oui, et un entier modulo 5 n'est pas un entier modulo 16. Donc Z/5Z n'est pas un sous ensemble de Z/16Z. Est ce plus clair ?

[gg0]

Ok.Mais 3 modulo 5, ce n'est pas 3 modulo 16.

En fait, tu aurais besoin d'une définition précise. Par les classes d'équivalence modulo n et la définition de groupes quotients.

[invite9dc7b526]

Il faut en effet faire attention à ne pas confondre les éléments d'un Z/nZ et les entiers ordinaires. Par exemple Z/2Z "={0,1}"peut être vu comme un sous-groupe de Z/4Z "={0,1,2,3}" mais le sous-groupe de Z/4Z n'est pas {0,1} , c'est {0,2}

[invite54a8a072]

oui je vois bien , déjà ma première erreur était de penser que (Z/nZ, .) était un groupe , alors que le groupe est (Z/nZ, +) , déjà c'est embêtant pour un théorème sur les groupes .
ok merci gg0 et MipaMa c'est effectivement un peu plus clair, dites moi si j'ai compris : dans Z/5Z 4+4 = 3 et dans Z/16Z 4+4 = 8 . Ce qui différencie donc les deux 4 , c'est leur comportement différents face à une même loi ,
et donc ce sont deux éléments distincts , c'est à peu près ca ?

[gg0]

En fait, ce n'est même pas la même loi, seulement la même notation.
Mais dans Z/5Z, 4 ={...,-6,-1,4,9,14,....} et dans Z/16Z, 4 ={...-28,-12,4,20,36, ...}.

Cordialement.

[invite54a8a072]

ca y est merci finalement compris ! Et oui ce n'est pas la même loi , j'ai envie de dire, suis je bête .
Ce n'est pas la première fois que vous me donnez un coup de main gg0 , vous êtes une vrai bénédiction pour les mathématiciens en herbe ! Bonne journée à tous !