Formule de projection pour Ext

[invite5357f325]

Bonjour,

Soient F,G des complexes bornés de faisceaux cohérents, et f : X -> Y un morphisme entre variétés algébriques lisses. Dans le cas qui m'intéresse f est une immersion fermée mais si ça marche en général tant mieux.

je voudrais vérifier que (*).

Voilà ce que je me dis : on a par la formule de la projection.

Malheureusement, je ne crois pas qu'en général on a (**).

Si (**) est vrai alors (*) aussi en prenant les sections globales de la formule de projection. Mais peut-être qu'on peut contourner la difficulté, par exemple est ce que (**) est vrai pour des fibrés vectoriels ? Ou alors la stratégie n'est pas bonne ?

Merci d'avance pour tout commentaires
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[0577]

Les formules (*) et (**) ne sont correctes qu'en un sens dérivé, i.e. après avoir remplacé f_* par Rf_*, f^* par Lf^*, \Gamma par
R\Gamma ... Au niveau cohomologique, on n'a en général que des suites spectrales.

La formule (*) est bien sûr toujour correcte pour Ext^0=Hom: f^* et f_* sont des foncteurs adjoints. Mais pour les Ext de degré supérieur, puisqu'il est très rare d'avoir à la fois f_* et f^* exacts, la formule (*) sera en général incorrecte.

Exemple: f immersion fermée d'un point X={x} dans une courbe lisse Y sur un corps k, F=O_x, G=O_X, alors
Ext^1(f^*F,G)=0 (il n'y a pas de Ext en degré supérieur sur un corps), mais Ext^1(F,f_*G)=Ext^1(O_x,O_x)=k .

Exemple: f morphisme structural d'une variété lisse sur k vers le point Spec(k), F=k, G un faisceau cohérent sur X, alors Ext^1(F,f_*G)
=0 (pas de Ext en degré supérieur sur un corps), mais Ext^1(f^*F,G)=Ext^1(O_X,G)=H^1 (X,G), qui peut très bien être non-nul.

[invite5357f325]

Merci beaucoup pour les explications c'est très clair.