Problème d'angle et de projection => besoin d'explication

[blisax]

Bonjour,

J'ai un peu de mal a comprendre une formule de mon cours de physique. La situation est la suivante:
On considère un ensemble de N segments (auquel on attribue un indice i allant de 1 à N) de longueur b (b est une constante), formant une chaîne (voir figure). Chaque segment est représenté par un vecteur ri. Chaque segment fait un angle γ avec le précédant (γ est une constante). On note θi,j l'angle entre le segment i et j. Donc θi,i+1 = γ.

Dans un cas en 2D, si je considère le segment i, il y a deux possibilités pour le segment i+1 si γ est une constante : soit ce segment est orienté vers le bas, soit il est orienté vers le haut par rapport à la droite portant le segment i (je sais pas si c'est clair ? C'est une sorte de marche aléatoire à angle constant).

On se propose de calculer la moyenne du cosinus entre deux segments i et j <cos(θi,j>. Le cours m'indique que <cos(θi,j> = cos(γ)^(j-i) (avec j>i). Je n'arrive pas à comprendre cette formule. Le cours invoque une histoire de projection des vecteurs sur leurs voisins mais ce n'est pas du tout clair pour moi. Si quelqu'un aurait la gentillesse de me détailler la justification, je lui serais très reconnaissant

PS: je joins une figure du cours, je ne comprend déjà plus la deuxième formule...


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[gg0]

Bonjour.

Moi non plus, je ne comprends pas ! Si , alors après 2 angles, on a un segment soit parallèle au premier, soit perpendiculaire. Le cos de l'angle entre le premier et le troisième segment vaut donc soit 1 soit 0. Ce que ne vaut pas .
De plus, à force de tourner dans le même sens, on dépassera l'angle droit et le cos devra être négatif ! ???

Cordialement.

NB : Il y a un crochet autour du cos, que signifie-t-il ?

[blisax]

Désolé pour la notation de physique, le crochet signifie moyenne. En effet soit le cos vaut 0 soit 1 donc en moyenne on retombe bien sur 0,5. Même si la formule "marche" elle ne me semble pas intuitive.

[gg0]

Ah, c'est une signification de moyenne ! Donc il faut voir dans cette direction.
Le premier terme vient du fait qu'on a le même cos pour et pour . Pour le deuxième, je ne vois pas pourquoi les moyennes se multiplient. Je sais que pour deux variables indépendantes, la myenne du produit est le produit des moyennes, mais je ne vois pas quel est le produit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[blisax]

Je me permets de relancer un peu la conversation pour savoir si quelqu'un a des idées. D'ailleurs j'ai remarqué que ce problème était bien plus souvent écrit sous cette forme: <ri.rj> = L² * cos(γ)^(j-i) (avec j>i) (le produit scalaire moyen entre deux vecteurs (indice i et j) de norme L est égale à la norme au carré multiplié par le cosinus de l'angle γ élevé à une certaine puissance). Peut-être que ça sera plus clair pour quelqu'un ?

[invite51d17075]

m'a l'air faux ( ou bizarre ) cette histoire.
d'ailleurs, dans les schémas du premier post , le troisième vecteur fait bien un angle de +/- 45° mais par rapport au premier vecteur , et non par rapport au vecteur précédent ( le second ).
ce qui rejoint la remarque de gg0 sur la possibilité ( vu l'énoncé ) d'avoir des cos négatifs.
bref, on a plus la description initiale d'un mouvement de type brownien dans l'énoncé.

[gg0]

En fait, ces schémas montrent une des possibilités sur les 4 (avec une erreur grossière sur l'angle). Et la formule porte sur la moyenne des cos des angles qui sont (je note a pour gamma) : 2a, 0, 0, -2a. ce qui donne (cos(2a)+1+1+cos(2a))/4=(2cos²(a)-1+1+1+2cos²(a)-1)/4=cos²(a).

Je n'ai pas vu d'idée simple pour justifier que ça se généralise.

Cordialement.

[Merlin95]

Par récurrence peut-être.

[gg0]

Une récurrence sur les moyennes ? Je n'ai pas vu d'idée mathématique pour relier une moyenne à la précédente.

[gg0]

Ah, j'ai peut-être une piste ..

Il est utile de remarquer que la moyenne des sinus est nulle. C'est ce qui va permettre d'additionner les angles, en moyenne.
On procède par récurrence, on fixe i, et on suppose donc que pour un

on a évidemment initialisé à j=i.
Ensuite, on utilise le fait que et sont des variables aléatoires indépendantes, donc leurs cos et leurs sin aussi. La moyenne d'un produit de variables indépendantes étant le produit de leurs moyennes :


Puis on utilise la formule d'addition et la linéarité de la moyenne :


Puis on fait la même chose pour le sinus moyen.

Ouf !!

J'aimerais une preuve moins lourde Même si on peut ici simplement remplacer i par 0.

Cordialement.

[blisax]

Merci beaucoup pour cette démonstration (que je ne trouve pas si lourde !). Je n'y aurais pas pensé. Il y a encore un petit point qui me pose problème "Il est utile de remarquer que la moyenne des sinus est nulle.", comment le remarque-t-on ? C'est vrai pour i=j puis on le démontre pas récurrence ?

[gg0]

On le voit au départ (ils sont opposés), et comme on en a besoin, on le suppose pour la suite. Et cette propriété fait partie de l'hypothèse de récurrence (je n'ai rédigé que la partie sur les cos, la partie sur les sin se fait de la même manière). Donc on démontre par récurrence les deux propriétés à la fois.

Cordialement.