question topologie induite

[maatty]

Bonjour à tous,

je bloque dans un exercice. A vrai dire, j'ai la correction mais deux points m'échappent.

On considère un ensemble (E; <=) totalement ordonné et A une partie de E. On veut étudier la topologie induite sur A par la topologie de l'ordre sur E; puis étudier le cas E=IR et A = Z.

La correction précise: "Les éléments de la base usuelle pour la topologie de l'ordre sur A s'obtiennent comme intersection avec A d'ouverts de E, ce sont donc des ouverts pour la topologie induite."

Voilà le premier point qui m'échappe: le texte ajoute "la topologie induite sur A est donc plus fine que la topologie de l'ordre sur A" (je ne comprends pas la différence entre les deux; pour moi ce sont les mêmes topologies).

Dans le cas E=IR et A = Z, il est écrit:

"la topologie de l'ordre sur Z est la topologie discrète car {n}=]n-1,n+1[^Z est ouvert" (ça je comprends)." Elle est donc aussi égale à la topologie de l'ordre induite par IR" (là je suis pas sûr de comprendre; est-ce parce que d'après la première question; dans le cas général, on a montré que la topologie induite est plus fine mais que si la topologie de l'ordre est la topologie discrète; c'est forcément la plus fine? d'où l'égalité).

Je vous remercie pour les éclaircissements que vous saurez m'apporter.

Matty
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[gg0]

Bonjour.

Je commence par la deuxième question : Effectivement, la topologie discrète est toujours la plus fine. Et c'est bien la topologie induite puisque les ouverts de base (les singletons) sont de la forme intersection de Z avec un ouvert de R : {n}=]n-1,n+1[^Z. remarque que {n} est un fermé de R.

Pour la première question, un ouvert de base de la topologie de l'ordre sur A est de la forme , donc de la forme avec a et b dans A, donc dans E. Donc ils sont tous des ouverts pour la topologie induite, puisque ]a,b[ est un ouvert de R.

Cordialement.

[maatty]

Bonjour,
je vous remercie d'avoir répondu si rapidement. Du coup je vois bien l'inclusion mais j'ai encore du mal à distinguer les deux; pour moi la topologie induite de la topologie de l'ordre sur E est la topologie de l'ordre sur A (ou plutôt; je ne vois pas quels éléments de la topologie induite ne sont pas dans la topologie de l'ordre sur A (si elle est plus fine). Est elle en générale strictement plus fine?
Cordialement

[gg0]

Prenons et . Dans la topologie induite, est un ouvert; est-ce un ouvert pour la topologie de l'ordre ?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

Merci pour cette réponse aussi rapide qu'éclairante.

Cordialement

[maatty]

Bonsoir,
je reviens à nouveau car j'ai en fait à nouveau un doute. En y repensant j'aurais tendance dire que ]2,3] est bien un ouvert également pour la topologie de l'ordre sur [1,3].
En fait deux choses à nouveau m'échappent.
- j'ai tendance à penser que le complémentaire de ]2,3] dans [1,3] est [1,2] et donc est fermé d'où ma réponse.
- je pense qu'une base de la topologie de l'ordre sur [1,3] est l'ensemble des intervalles ]x,y[ (1<x<3 et 1<y<3) et des intervalles [1,x[ et ]y,3]. car sinon comment peut on couvrir [1,3] avec juste des intervalles ]x,y[ (1<x<3 et 1<y<3) (une base de topologie devant couvrir l'ensemble par réunion de ses éléments).
On raisonne-je mal?
D'avance merci.

[maatty]

Bonjour,
je reviens un peu à la charge. y-a-t-il quelqu'un pour me corriger éventuellement?

je vous remercie par anticipation

[gg0]

Bonjour.

J'ai failli te répondre ce matin, mais j'ai dû partir.
Après réflexion, car je découvre la topologie de l'ordre, mon exemple n'est pas bon, ]2,3] est bien ouvert pour la topologie de l'ordre, c'est même un ouvert de base : Dans la topologie de l'ordre, la base des voisinages de E est constituée des intervalles ]a, b[ où a et b sont des éléments de E, ou ou (*). Et .

Donc je n'ai pas d'exemple où la topologie induite est strictement plus fine. Cependant, il y a des ensembles totalement ordonnés bien plus "tordus", donc je ne sais pas tout !
J'ai pensé à , par exemple ... mais je ne vois pas de contradiction, parce que tout réel est limite d'une suite de rationnels.
D'autres peut-être ...

Cordialement.

(*) Comme d'habitude, ]-oo, b[ = {x / x<b}