Lien série entière - développement limité

[LouisMPSI]

Bonjour,

Dans une correction d'exercice, on utilise la série entière suivante :

Et il est dit que comme en 0, alors . (car en fait )

Pouvez-vous m'expliquer ?
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[Tryss2]

je suppose qu'il s'agit d'un o(x) en 0

Sinon, c'est simple :

On a d'un coté


Et de l'autre


Donc par unicité de la limite,

[ansset]

je ne suis pas certain que cela soit la question de Louis.
ici C₀=0 car f(0)=0 et
C₁=1 car C₁ correspond à f'(0)


d'où f'(0)=1 et donc C₁​=1

[Merlin95]

Dans tous les cas on utilise le fait que si une fonction f C infini s'écrit :



Alors les sont uniques. On peut l'admettre, je ne sais pas si ca se démontre.

Dans ce cas, on peut écrire :


(par la formule de Taylor) alors

d'où C1=1

[A voir en vidéo sur Futura]

[LouisMPSI]

J'ai compris merci pour vos réponses !

[albanxiii]

Bonjour,

Dans tous les cas on utilise le fait que si une fonction f C infini s'écrit :

Pour ma culture, ou analytique ?
Car j'ai le souvenir d'une fonction non nulle dont tous les coefficients du développement en série entière sont nuls (je fouillerai dans mes papiers pour plus de précision si nécessaire).

[eudea-panjclinne]

Car j'ai le souvenir d'une fonction non nulle dont tous les coefficients du développement en série entière sont nuls (je fouillerai dans mes papiers pour plus de précision si nécessaire

Développement de la fonctions suivante en 0
f(x)=exp(-1/x^2); x réel non nul
f(0)=0
On prolonge par continuité toutes les dérivées en 0 par 0.

[gg0]

Effectivement, Albanxiii,

par exemple la fonction trouvée par Schwartz qui lui a permis de prouver l'existence de fonctions à support borné :


Autre remarque, pour LouisMPSI :
Si f est développable en série au voisinage de a, les sommes partielles sont les parties polynomiales des développements limités de même ordre de f. Par exemple,

où j'ai utilisé la série qui définit l'exponentielle.
La justification est facile (et générale) : Le reste de la série se factorise par x³, donc est bien un o(x²).
On a même


Cordialement

[eudea-panjclinne]

Tu es sûr de ton exemple gg0 ?

[gg0]

Tu as raison, c'est bien évidemment


Où avais-je la tête ?

Merci !

[Tryss2]

Pas très réveillé ce matin gg0?

Tu voulais sans doute parler de

[gg0]

Non,

celle que tu donnes est une utilisation de celle dont je parle, qui a, comme le dit Albanxiii "tous les coefficients du développement en série entière [sont] nuls".

Cordialement.

[Tryss2]

Je voulais parler de "par exemple la fonction trouvée par Schwartz qui lui a permis de prouver l'existence de fonctions à support borné :", vu que les deux fonctions que tu avais donné n'étaient pas à support bornés

[gg0]

Oui,

mais justement, c'est la fonction dont je parle qui lui a donné la fonction dont tu parles. Je disais bien "qui lui a permis de prouver ..", je ne disais pas qu'elle est elle-même à support borné.
Désolé si ça t'a perturbé, mais je devais parler de ce que disait Albanxiii, pas d'autre chose.

Cordialement.

[Merlin95]

Bonjour,



Pour ma culture, ou analytique ?
Car j'ai le souvenir d'une fonction non nulle dont tous les coefficients du développement en série entière sont nuls (je fouillerai dans mes papiers pour plus de précision si nécessaire).

Heu je ne comprends pas si tous les coefficients sont nuls la fonction ne peut être que nulle non ?

[ansset]

Il s'agit du développement en série entière de la fonction en un point ( ici 0 )
ce qui n'implique pas du tout que la fonction soit nulle partout.

[gg0]

Merlin95,

la fonction que je cite au message #10 est infiniment dérivable, ses dérivées en 0 sont toutes nulles, donc son DSE en 0 est la série nulle, mais n'est pas égal à f(x) pour x différent de 0. C'est l'exemple classique de fonction mais pas analytique.

Cordialement.

[Merlin95]

ok j'ai compris.