Preuve de la bijectivité d’une fonction

[henryallen]

Bonjour,

J’ai une question portant sur la preuve de la bijectivité d’une fonction, où je me suis embrouillé.

Soit f une fonction définie sur E à valeurs dans F. On veut montrer que f réalise une bijection de E sur F.

Une méthode est d’étudier les variations de f, ses limites, et d’en déduire la bijectivité de la fonction.

Sinon, on peut prendre y appartenant à F, et montrer que , avec x appartenant à E (ce qui peut alors donner la fonction réciproque de f). C’est ici que j’ai une question. Peut-on raisonner par équivalences, ou doit-on raisonner par implications successives ? Je m’explique:

Si l’on utilise des équivalences successives, ce qui me pose problème est le fait qu’au début, quand on écrit y=f(x), on ne sait pas encore si x appartient bien à E ... Donc raisonner par équivalence me paraît faux. À moins qu’on puisse le faire en précisant que x doit être dans E ? Par exemple, si on a f(x)=x-1, E=[0, 10] et F=[-1, 9] (cas évident bien sûr), peut-on faire: soit y appartenant à F, , donc tout finir en équivalence ?

Et sinon, en utilisant les implications, on raisonne en fait par analyse-synthèse: dans l’analyse on trouve les antécédents possibles pour y (supposant donc qu’il en existe), puis dans la synthèse on vérifie qu’on a x dans E et f(x)=y. Or re-vérifier cette dernière égalité peut paraître superflu dans le cas où les équivalences peuvent être utilisées.

Donc j’aimerais juste savoir si le raisonnement par équivalences est possible, ou si l’on est obligé de vérifier à la fin que le x trouvé respecte bien f(x)=y.

Ce qui me rend confus est que par exemple, j’ai vu un exercice d’une fonction complexe f de E dans F, on prend Z dans F, on montre , on vérifie que z est dans E, mais on ne re vérifie pas qu’on a Z=f(z), ce qui me paraît étrange vu qu’au final, on veut avoir une équivalence.

Merci d’avance pour vos éventuelles réponses.
Bonne journée
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[ansset]

Ce qui me rend confus est que par exemple, j’ai vu un exercice d’une fonction complexe f de E dans F, on prend Z dans F, on montre , on vérifie que z est dans E, mais on ne re vérifie pas qu’on a Z=f(z), ce qui me paraît étrange vu qu’au final, on veut avoir une équivalence.

si z existe et est unique c'est la démonstration que f admet une réciproque f^-1 de F dans E.
d'où :
f^-1(Z)=z et donc f(z)=f(f^-1​(Z))=Z
ps : je suppose que F est l'image de E par f

[gg0]

Bonjour Henryallen.

Sinon, on peut prendre y appartenant à F, et montrer que , avec x appartenant à E (ce qui peut alors donner la fonction réciproque de f). C’est ici que j’ai une question. Peut-on raisonner par équivalences, ou doit-on raisonner par implications successives ?

On raisonne par équivalences, sinon on n'aura pas la bijectivité.

ce qui me pose problème est le fait qu’au début, quand on écrit y=f(x), on ne sait pas encore si x appartient bien à E

Heu ... puisqu'on écrit f(x), c'est que x est un élément de E (f est définie de E dans F). Éventuellement, il pourrait ne pas exister de x (*), ce qui ne pose pas problème, puisque dans une équivalence, il n'est pas nécessaire que l'hypothèse soit vraie (**).

Ce qui me rend confus est que par exemple, j’ai vu un exercice ...

Nous, on ne l'a pas vu, on ne peut pas savoir si tu as raté une étape ou si le corrigé est incomplet, seulement indicatif, ou incorrect.

Je reviens au début :

Une méthode est d’étudier les variations de f, ses limites, et d’en déduire la bijectivité de la fonction

Ceci n'a de sens que pour les "fonctions numériques", celles de R dans R.

Cordialement.

(*) alors f n'est pas surjective, mais qui irait rédiger la démonstration de bijectivité pour une fonction qui ne l'est pas ?
(**) et évidemment, dans ce cas, la conclusion aussi est fausse.

[henryallen]

Bonjour, et tout d’abord merci pour vos réponses

Donc si l’on considère la fonction f de R dans par f(x)=exp(2x+3), on ferait ceci ?

Soit y appartenant à , et x appartenant à R.
. Évidemment x est défini (car y est strictement positif) et dans R, donc pour tout y de , il existe un unique réel x tel que y=f(x), et donc f est bijective de R sur .

Quant à l’exercice que j´évoquais, en voici l’énoncé et le corrigé (disponibles également ici: http://www.maths-france.fr/MathSup/Exercices/index.php dans la planche 3 du premier semestre, exercice 7).
41DBCA02-ED67-4EC3-9976-8413FE5B9E37.jpeg
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Mon problème se situe au niveau de la preuve de la surjectivité: on raisonne par implications, donc ne devrait-on pas montrer que la valeur trouvée pour z est telle que f(z)=Z ?

Merci d’avance et bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Après lecture du corrigé, je confirme : Il n'est pas prouvé que le z trouvé a pour image Z. Corrigé incorrect.

Cordialement

[henryallen]

Merci pour cette réponse. Mais du coup, comment aurait-on pu faire ? Reprendre le résultat et vérifier qu’il fonctionne est évidemment une possibilité, mais aurait-on pu simplement raisonner par équivalences ?

[gg0]

Tu es tout aussi capable de regarder que moi

NB : Il est parfois délicat de justifier une équivalence sans que ça devienne lourd à lire.

[henryallen]

Oui, je suppose qu'en l'occurrence pour utiliser directement des équivalences, il aurait fallu ajouter la condition lorsqu'on se débarrassait des fractions, puis montrer que c'est forcément le cas puisque .

Merci beaucoup à tous pour votre aide, bonne journée et à bientôt