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Valeur approchée



  1. #1
    mehdi_128

    Valeur approchée


    ------

    Bonjour,

    J'avais jamais étudiés les valeurs approchées sous cette définition :

    Une valeur approchée d'un réel x est à la précision près est un réel a tel que :

    Soit :

    Exemple :

    Ca donne :

    Je prends :

    J'ai bien :

    marche aussi

    Ma question est : quel est le nombre de chiffres après la virgule qu'on doit garder pour a ? Car je peux aussi écrire :

    Si



    Je sais au collège on dit aux élèves de garder que 2 chiffres après la virgules si on arrondit à mais pourquoi ?

    -----

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  3. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message

    Si


    Je sais au collège on dit aux élèves de garder que 2 chiffres après la virgules si on arrondit à mais pourquoi ?
    tes inéquations ne respectent pas la définition.
    3,141592-3,131=0,010592 > 10^(-2)
    en revanche si tu prends systématiquement les n premiers chiffres pour une valeur approchée à 10^(-n) prêt , ça marche toujours.
    a toi de voir pourquoi .
    pour y voir clair , tu peux multiplier par 10^n
    Dernière modification par ansset ; 16/08/2018 à 16h16.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Soit :



    Si on multiplie par 10^n on obtient :



    J'arrive pas à voir dans le cas général pourquoi ça marche toujours si on prend les n premiers chiffres de x.

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    Soit y le nombre obtenu en prenant les chiffres avant la virgule et le n premiers chiffres après la virgule. Dans quel intervalle se situe x-y (qui s'écrit 0,000...00abc... où a, b, c, ... sont les chiffres suivants de x et il y a n zéros après la virgule.

    Cordialement.

    NB : On ne prend pas toujours cet "arrondi par défaut", si le chiffre suivant (a) est 5, 6, 7, 8 ou 9, on préfère prendre par excès. Pour diminuer l'erreur d'arrondi.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    J'arrive pas à voir dans le cas général pourquoi ça marche toujours si on prend les n premiers chiffres de x.
    je t'ai donné la piste .
    je le fais avec ton exemple
    3,141592
    à 10^(-3) prêt
    si je multiple par 10^3
    x*10^3=3141,592
    E(x)<= x*10^3 <E(x)+1 ( ça ne te rappelle rien ? )
    3141<=x*10^3< 3142 d'où
    3,141 <= x < 3,142
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    il fallait lire E(x*10^3) bien sur
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  10. #7
    Merlin95

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    tes inéquations ne respectent pas la définition.
    3,141592-3,131=0,010592 > 10^(-2)
    a = 3,141 dans son choix et donc 3,141592-3,141=0,000592 qui est bien inférieur à 0.01

    mais en général la valeur approchée à 10^-n, est effectivement en tronquant en passant par la partie entière du nombre x 10^n puis en redivisant par 10^n.
    Dernière modification par Merlin95 ; 16/08/2018 à 20h06.

  11. #8
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    oui pardon, pas vu son a au début du message !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Soit y le nombre obtenu en prenant les chiffres avant la virgule et le n premiers chiffres après la virgule. Dans quel intervalle se situe x-y (qui s'écrit 0,000...00abc... où a, b, c, ... sont les chiffres suivants de x et il y a n zéros après la virgule.

    Cordialement.

    NB : On ne prend pas toujours cet "arrondi par défaut", si le chiffre suivant (a) est 5, 6, 7, 8 ou 9, on préfère prendre par excès. Pour diminuer l'erreur d'arrondi.
    Rien compris à vos notations.

  13. #10
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je t'ai donné la piste .
    je le fais avec ton exemple
    3,141592
    à 10^(-3) prêt
    si je multiple par 10^3
    x*10^3=3141,592
    E(x)<= x*10^3 <E(x)+1 ( ça ne te rappelle rien ? )
    3141<=x*10^3< 3142 d'où
    3,141 <= x < 3,142
    Merci !

    Mais du coup vous avez donné une valeur approchée par défaut ?

    La définition d'un valeur proche par défaut à près est :



    On a donc

    Pour la définition générale d'une valeur approchée on aurait :

    votre méthode ne marche pas ici

  14. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    Rien compris à vos notations.
    Plutôt "pas essayé de comprendre".

    Encore une fois, un simple essai sur une valeur, par exemple celle de Pi, t'aurait permis de comprendre cette écriture. Pourquoçi dfemander si tu ne veux pas essayer de comprendre.

    votre méthode ne marche pas ici
    Si, mais là encore tu ne fais aucun effort pour passer de l'inégalité de Ansset à celle de la définition générale.

    A ce niveau d'absence de réflexion, ce n'est pas la peine d'aller passer le Capes, tu n'as même pas les capacités d'autonomie d'un élève moyen de seconde. Et même si par miracle tu l'obtenais, tu serais tellement bordélisé par tes classes, faute de capacités à répondre aux questions que tu partirais au bout de 2 mois.

    Une seule solution : Changer d'attitude. Passer de celle de l'écolier à celle du prof, celui qui pense et cherche.
    Dernière modification par gg0 ; 17/08/2018 à 09h34.

  15. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    correction ( saloperie de correction Latex )
    cela revient à prendre
    ( ça tu peux le comprendre )

    et on obtient

    et c'est la solution banale donnée au collège comme tu le dis.
    donc par implication on a aussi


    mais ce n'est pas la seule possibilité, on peut aussi choisir

    dans ce cas on obtient

    ce qui donne aussi par implication
    [/QUOTE]

    d'ailleurs pour pi , on prend usuellement les deux solutions par habitude
    3,14 ( minoration à 10^(-2) )
    3,1416 ( majoration à 10^(-4)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  17. #13
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    ps : et la définition générale permet justement ce choix ( minoration ou majoration )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Plutôt "pas essayé de comprendre".

    Encore une fois, un simple essai sur une valeur, par exemple celle de Pi, t'aurait permis de comprendre cette écriture. Pourquoçi dfemander si tu ne veux pas essayer de comprendre.


    Si, mais là encore tu ne fais aucun effort pour passer de l'inégalité de Ansset à celle de la définition générale.

    A ce niveau d'absence de réflexion, ce n'est pas la peine d'aller passer le Capes, tu n'as même pas les capacités d'autonomie d'un élève moyen de seconde. Et même si par miracle tu l'obtenais, tu serais tellement bordélisé par tes classes, faute de capacités à répondre aux questions que tu partirais au bout de 2 mois.

    Une seule solution : Changer d'attitude. Passer de celle de l'écolier à celle du prof, celui qui pense et cherche.
    Bah non relisez votre message il est incompréhensible.

    J'ai enseigné cette année en lycée général (contractuel) en seconde et première cette année en Physique Chimie, jamais eu de problème par rapport aux questions des élèves.

    Et je suis bien plus à l'aise en maths qu'en Physique Chimie sur le niveau lycée.
    Dernière modification par mehdi_128 ; 17/08/2018 à 13h23.

  19. #15
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    @mehdi:
    est tu OK avec les mess 13 et 14 ? ( le 12 est bourré de fautes , j'ai un soucis avec le Latex en mode avancé que je ne comprend pas )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #16
    jiherve

    Re : Valeur approchée

    Bonjour,
    faisons simple :
    si l'on désire arrondir à 10^-n prés on prendra effectivement les n premiers chiffres de la partie fractionnaire pourquoi, ben parce que le reste (ce que l'on néglige) est forcement inférieur à 10^-n c'est le charme de la numération de position!
    la bonne méthode qui minimise l'erreur d'arrondi c'est d’additionner* 0,5*10^-(n+1) au nombre et de tronquer aux n chiffres désirés.
    exemple avec PI:
    3.145926 ..
    à 10^-1 => 3,1
    à 10^-2 => 3,15
    a 10^-3 => 3,146
    à 10^-4 => 3,1459
    nota cela fonctionne aussi avec la partie entière il faut juste renverser la recette et aussi dans n'importe quelle base de numération.
    *en base 10 pour un humain il suffit bien sur de regarder le premier chiffre délaissé mais avec les machines l'addition est plus pertinente.
    JR
    l'électronique c'est pas du vaudou!

  21. #17
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    heuu !
    pi c'est plutôt 3,141596536......
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #18
    pm42

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Bah non relisez votre message il est incompréhensible.
    Uniquement pour toi.

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    J'ai enseigné cette année en lycée général (contractuel) en seconde et première cette année en Physique Chimie, jamais eu de problème par rapport aux questions des élèves.
    C'est toi qui le dit. Et tu ne sembles pas être la personne qui évalue le mieux ses propres capacités.

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Et je suis bien plus à l'aise en maths qu'en Physique Chimie sur le niveau lycée.
    Je ne pense pas que tu puisses dire que tu es "à l'aise" en maths à n'importe quel niveau.
    Tes posts sont effrayants.

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  24. #19
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    @Ansset

    Merci beaucoup j'ai compris le principe

    Si on pose :

    On sait que :

    D'où en divisant par 10^n : (valeur approchée par défaut)

    Donc à fortiori : (valeur approchée)

    Il nous reste plus qu'à démontrer le résultat pour la valeur approchée par excès :

    Posons :

    En reprenant l'inégalité de la valeur approchée par défaut on trouve:

    (valeur approchée par excès)

  25. #20
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par jiherve Voir le message
    Bonjour,
    faisons simple :
    si l'on désire arrondir à 10^-n prés on prendra effectivement les n premiers chiffres de la partie fractionnaire pourquoi, ben parce que le reste (ce que l'on néglige) est forcement inférieur à 10^-n c'est le charme de la numération de position!
    la bonne méthode qui minimise l'erreur d'arrondi c'est d’additionner* 0,5*10^-(n+1) au nombre et de tronquer aux n chiffres désirés.
    exemple avec PI:
    3.145926 ..
    à 10^-1 => 3,1
    à 10^-2 => 3,15
    a 10^-3 => 3,146
    à 10^-4 => 3,1459
    nota cela fonctionne aussi avec la partie entière il faut juste renverser la recette et aussi dans n'importe quelle base de numération.
    *en base 10 pour un humain il suffit bien sur de regarder le premier chiffre délaissé mais avec les machines l'addition est plus pertinente.
    JR
    Merci j'avais jamais entendu parler de cette méthode de minimisation de l'erreur d'arrondi.

  26. #21
    jiherve

    Re : Valeur approchée

    Re
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    heuu !
    pi c'est plutôt 3,141596536......
    en effet oubli de frappe mais cela ne change rien pour le reste.
    JR
    l'électronique c'est pas du vaudou!

  27. #22
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    Oui bien sur, mais encore une petite faute de frappe : il faut ajouter 0,5 10^(-n) et pas -(n+1)
    au final
    E(x10^n+0,5)/10^n donne la meilleure valeur approchée possible.
    ps : je dis cela pour mehdi , pas pour toi.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #23
    jiherve

    Re : Valeur approchée

    re
    encore exact, décidément c'est pas mon jour!
    JR
    l'électronique c'est pas du vaudou!

  29. #24
    Merlin95

    Re : Valeur approchée

    annulé....
    Dernière modification par Merlin95 ; 17/08/2018 à 18h18.

  30. Publicité
  31. #25
    Merlin95

    Re : Valeur approchée

    Une valeur approchée d'un réel x est à la précision près est un réel a tel que :

    Soit :



    ce qui donne deux solutions , (valeur approchée par défaut) ou (valeur approchée par excés).
    Dernière modification par Merlin95 ; 17/08/2018 à 18h34.

  32. #26
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Une valeur approchée d'un réel x est à la précision près est un réel a tel que :

    Soit :



    ce qui donne deux solutions , (valeur approchée par défaut) ou (valeur approchée par excés).
    J'ai pas compris comment vous trouvez les 2 solutions à partir de l'inéquation ...

  33. #27
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    J'ai pas compris comment vous trouvez les 2 solutions à partir de l'inéquation ...
    cela semble pourtant évident.
    ce qu'écrit Merlin est juste mathématiquement, il suffit de relire.
    par ailleurs regardes le nombre pi , et tu verra clairement que quelque soit l'approximation à la décimale recherchée , tu as tj 2 solutions qui satisfont la définition générale.
    une minoration , et une majoration.
    ce qui n'est évidement plus le cas si on a une valeur exacte à 10^(-n) prêt.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  34. #28
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Ah j'ai compris comment il a fait :

    On a :

    Comme :

    Si on prend : on obtient :

    Or : ça donne :

    Soit :

    L'encadrement est par défaut

    Même méthode pour l'autre cas.

  35. #29
    mehdi_128

    Re : Valeur approchée

    Par contre pourriez vous détailler votre remarque : "ce qui n'est pas le cas si on a une valeur exacte à 10^(-n) près"."
    J'ai pas compris ce passage.

  36. #30
    Merlin95

    Re : Valeur approchée

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message

    Même méthode pour l'autre cas.




    Donc satisfait l'égalité.
    Dernière modification par Merlin95 ; 18/08/2018 à 16h39.

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