Valeur approchée

**mehdi_128** · 16/08/2018, 16h02

Bonjour,

J'avais jamais étudiés les valeurs approchées sous cette définition :

Une valeur approchée d'un réel x est à la précision $\text{[math]}$ près est un réel a tel que : $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

Exemple : $\text{[math]}$

Ca donne : $\text{[math]}$

Je prends : $\text{[math]}$

J'ai bien : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ marche aussi

Ma question est : quel est le nombre de chiffres après la virgule qu'on doit garder pour a ? Car je peux aussi écrire :

Si $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Je sais au collège on dit aux élèves de garder que 2 chiffres après la virgules si on arrondit à $\text{[math]}$ mais pourquoi ?

**ansset** · 16/08/2018, 16h15

Envoyé par mehdi_128

Si $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Je sais au collège on dit aux élèves de garder que 2 chiffres après la virgules si on arrondit à $\text{[math]}$ mais pourquoi ?

tes inéquations ne respectent pas la définition.
3,141592-3,131=0,010592 > 10^(-2)
en revanche si tu prends systématiquement les n premiers chiffres pour une valeur approchée à 10^(-n) prêt , ça marche toujours.
a toi de voir pourquoi .
pour y voir clair , tu peux multiplier par 10^n

**mehdi_128** · 16/08/2018, 17h04

Soit :

$\text{[math]}$

Si on multiplie par 10^n on obtient :

$\text{[math]}$

J'arrive pas à voir dans le cas général pourquoi ça marche toujours si on prend les n premiers chiffres de x.

**gg0** · 16/08/2018, 17h23

Soit y le nombre obtenu en prenant les chiffres avant la virgule et le n premiers chiffres après la virgule. Dans quel intervalle se situe x-y (qui s'écrit 0,000...00abc... où a, b, c, ... sont les chiffres suivants de x et il y a n zéros après la virgule.

Cordialement.

NB : On ne prend pas toujours cet "arrondi par défaut", si le chiffre suivant (a) est 5, 6, 7, 8 ou 9, on préfère prendre par excès. Pour diminuer l'erreur d'arrondi.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ansset** · 16/08/2018, 17h43

Envoyé par mehdi_128

J'arrive pas à voir dans le cas général pourquoi ça marche toujours si on prend les n premiers chiffres de x.

je t'ai donné la piste .
je le fais avec ton exemple
3,141592
à 10^(-3) prêt
si je multiple par 10^3
x*10^3=3141,592
E(x)<= x*10^3 <E(x)+1 ( ça ne te rappelle rien ? )
3141<=x*10^3< 3142 d'où
3,141 <= x < 3,142

**ansset** · 16/08/2018, 17h50

il fallait lire E(x*10^3) bien sur

Merlin95 · 16/08/2018, 20h02

Envoyé par ansset

tes inéquations ne respectent pas la définition.
3,141592-3,131=0,010592 > 10^(-2)

a = 3,141 dans son choix et donc 3,141592-3,141=0,000592 qui est bien inférieur à 0.01

mais en général la valeur approchée à 10^-n, est effectivement en tronquant en passant par la partie entière du nombre x 10^n puis en redivisant par 10^n.

**ansset** · 16/08/2018, 20h25

oui pardon, pas vu son a au début du message !

**mehdi_128** · 17/08/2018, 02h23

Envoyé par gg0

Soit y le nombre obtenu en prenant les chiffres avant la virgule et le n premiers chiffres après la virgule. Dans quel intervalle se situe x-y (qui s'écrit 0,000...00abc... où a, b, c, ... sont les chiffres suivants de x et il y a n zéros après la virgule.

Cordialement.

NB : On ne prend pas toujours cet "arrondi par défaut", si le chiffre suivant (a) est 5, 6, 7, 8 ou 9, on préfère prendre par excès. Pour diminuer l'erreur d'arrondi.

Rien compris à vos notations.

**mehdi_128** · 17/08/2018, 02h36

Envoyé par ansset

je t'ai donné la piste .
je le fais avec ton exemple
3,141592
à 10^(-3) prêt
si je multiple par 10^3
x*10^3=3141,592
E(x)<= x*10^3 <E(x)+1 ( ça ne te rappelle rien ? )
3141<=x*10^3< 3142 d'où
3,141 <= x < 3,142

Merci !

Mais du coup vous avez donné une valeur approchée par défaut ?

La définition d'un valeur proche par défaut à $\text{[math]}$ près est :

$\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$

Pour la définition générale d'une valeur approchée on aurait :

$\text{[math]}$ votre méthode ne marche pas ici

**gg0** · 17/08/2018, 09h32

Rien compris à vos notations.

Plutôt "pas essayé de comprendre".

Encore une fois, un simple essai sur une valeur, par exemple celle de Pi, t'aurait permis de comprendre cette écriture. Pourquoçi dfemander si tu ne veux pas essayer de comprendre.

votre méthode ne marche pas ici

Si, mais là encore tu ne fais aucun effort pour passer de l'inégalité de Ansset à celle de la définition générale.

A ce niveau d'absence de réflexion, ce n'est pas la peine d'aller passer le Capes, tu n'as même pas les capacités d'autonomie d'un élève moyen de seconde. Et même si par miracle tu l'obtenais, tu serais tellement bordélisé par tes classes, faute de capacités à répondre aux questions que tu partirais au bout de 2 mois.

Une seule solution : Changer d'attitude. Passer de celle de l'écolier à celle du prof, celui qui pense et cherche.

**ansset** · 17/08/2018, 10h59

correction ( saloperie de correction Latex )

cela revient à prendre
$\text{[math]}$ ( ça tu peux le comprendre )

et on obtient
$\text{[math]}$
et c'est la solution banale donnée au collège comme tu le dis.

donc par implication on a aussi
$\text{[math]}$

mais ce n'est pas la seule possibilité, on peut aussi choisir
$\text{[math]}$
dans ce cas on obtient
$\text{[math]}$
ce qui donne aussi par implication
$\text{[math]}$ [/QUOTE]

d'ailleurs pour pi , on prend usuellement les deux solutions par habitude
3,14 ( minoration à 10^(-2) )
3,1416 ( majoration à 10^(-4)

**ansset** · 17/08/2018, 11h18

ps : et la définition générale permet justement ce choix ( minoration ou majoration )

**mehdi_128** · 17/08/2018, 13h22

Envoyé par gg0

Plutôt "pas essayé de comprendre".

Encore une fois, un simple essai sur une valeur, par exemple celle de Pi, t'aurait permis de comprendre cette écriture. Pourquoçi dfemander si tu ne veux pas essayer de comprendre.

Si, mais là encore tu ne fais aucun effort pour passer de l'inégalité de Ansset à celle de la définition générale.

A ce niveau d'absence de réflexion, ce n'est pas la peine d'aller passer le Capes, tu n'as même pas les capacités d'autonomie d'un élève moyen de seconde. Et même si par miracle tu l'obtenais, tu serais tellement bordélisé par tes classes, faute de capacités à répondre aux questions que tu partirais au bout de 2 mois.

Une seule solution : Changer d'attitude. Passer de celle de l'écolier à celle du prof, celui qui pense et cherche.

Bah non relisez votre message il est incompréhensible.

J'ai enseigné cette année en lycée général (contractuel) en seconde et première cette année en Physique Chimie, jamais eu de problème par rapport aux questions des élèves.

Et je suis bien plus à l'aise en maths qu'en Physique Chimie sur le niveau lycée.

**ansset** · 17/08/2018, 13h36

@mehdi:
est tu OK avec les mess 13 et 14 ? ( le 12 est bourré de fautes , j'ai un soucis avec le Latex en mode avancé que je ne comprend pas )

**jiherve** · 17/08/2018, 13h50

Bonjour,
faisons simple :
si l'on désire arrondir à 10^-n prés on prendra effectivement les n premiers chiffres de la partie fractionnaire pourquoi, ben parce que le reste (ce que l'on néglige) est forcement inférieur à 10^-n c'est le charme de la numération de position!
la bonne méthode qui minimise l'erreur d'arrondi c'est d’additionner* 0,5*10^-(n+1) au nombre et de tronquer aux n chiffres désirés.
exemple avec PI:
3.145926 ..
à 10^-1 => 3,1
à 10^-2 => 3,15
a 10^-3 => 3,146
à 10^-4 => 3,1459
nota cela fonctionne aussi avec la partie entière il faut juste renverser la recette et aussi dans n'importe quelle base de numération.
*en base 10 pour un humain il suffit bien sur de regarder le premier chiffre délaissé mais avec les machines l'addition est plus pertinente.
JR

**ansset** · 17/08/2018, 13h55

heuu !
pi c'est plutôt 3,141596536......

**pm42** · 17/08/2018, 14h01

Envoyé par mehdi_128

Bah non relisez votre message il est incompréhensible.

Uniquement pour toi.

Envoyé par mehdi_128

J'ai enseigné cette année en lycée général (contractuel) en seconde et première cette année en Physique Chimie, jamais eu de problème par rapport aux questions des élèves.

C'est toi qui le dit. Et tu ne sembles pas être la personne qui évalue le mieux ses propres capacités.

Envoyé par mehdi_128

Et je suis bien plus à l'aise en maths qu'en Physique Chimie sur le niveau lycée.

Je ne pense pas que tu puisses dire que tu es "à l'aise" en maths à n'importe quel niveau.
Tes posts sont effrayants.

**mehdi_128** · 17/08/2018, 14h04

@Ansset

Merci beaucoup j'ai compris le principe

Si on pose : $\text{[math]}$

On sait que : $\text{[math]}$

D'où en divisant par 10^n : $\text{[math]}$ (valeur approchée par défaut)

Donc à fortiori : $\text{[math]}$ (valeur approchée)

Il nous reste plus qu'à démontrer le résultat pour la valeur approchée par excès :

Posons : $\text{[math]}$

En reprenant l'inégalité de la valeur approchée par défaut on trouve:

$\text{[math]}$ (valeur approchée par excès)

**mehdi_128** · 17/08/2018, 14h08

Envoyé par jiherve

Bonjour,
faisons simple :
si l'on désire arrondir à 10^-n prés on prendra effectivement les n premiers chiffres de la partie fractionnaire pourquoi, ben parce que le reste (ce que l'on néglige) est forcement inférieur à 10^-n c'est le charme de la numération de position!
la bonne méthode qui minimise l'erreur d'arrondi c'est d’additionner* 0,5*10^-(n+1) au nombre et de tronquer aux n chiffres désirés.
exemple avec PI:
3.145926 ..
à 10^-1 => 3,1
à 10^-2 => 3,15
a 10^-3 => 3,146
à 10^-4 => 3,1459
nota cela fonctionne aussi avec la partie entière il faut juste renverser la recette et aussi dans n'importe quelle base de numération.
*en base 10 pour un humain il suffit bien sur de regarder le premier chiffre délaissé mais avec les machines l'addition est plus pertinente.
JR

Merci j'avais jamais entendu parler de cette méthode de minimisation de l'erreur d'arrondi.

**jiherve** · 17/08/2018, 14h42

Re

Envoyé par ansset

heuu !
pi c'est plutôt 3,141596536......

en effet oubli de frappe mais cela ne change rien pour le reste.
JR

**ansset** · 17/08/2018, 14h58

Oui bien sur, mais encore une petite faute de frappe : il faut ajouter 0,5 10^(-n) et pas -(n+1)
au final
E(x10^n+0,5)/10^n donne la meilleure valeur approchée possible.
ps : je dis cela pour mehdi , pas pour toi.

**jiherve** · 17/08/2018, 15h02

re
encore exact, décidément c'est pas mon jour!
JR

Merlin95 · 17/08/2018, 18h17

annulé....

Merlin95 · 17/08/2018, 18h33

Une valeur approchée d'un réel x est à la précision $\text{[math]}$ près est un réel a tel que : $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

ce qui donne deux solutions $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ (valeur approchée par défaut) ou $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (valeur approchée par excés).

**mehdi_128** · 18/08/2018, 02h40

Envoyé par Merlin95

Une valeur approchée d'un réel x est à la précision $\text{[math]}$ près est un réel a tel que : $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

ce qui donne deux solutions $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ (valeur approchée par défaut) ou $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (valeur approchée par excés).

J'ai pas compris comment vous trouvez les 2 solutions à partir de l'inéquation ...

**ansset** · 18/08/2018, 10h57

Envoyé par mehdi_128

J'ai pas compris comment vous trouvez les 2 solutions à partir de l'inéquation ...

cela semble pourtant évident.
ce qu'écrit Merlin est juste mathématiquement, il suffit de relire.
par ailleurs regardes le nombre pi , et tu verra clairement que quelque soit l'approximation à la décimale recherchée , tu as tj 2 solutions qui satisfont la définition générale.
une minoration , et une majoration.
ce qui n'est évidement plus le cas si on a une valeur exacte à 10^(-n) prêt.

**mehdi_128** · 18/08/2018, 16h08

Ah j'ai compris comment il a fait :

On a : $\text{[math]}$

Comme : $\text{[math]}$

Si on prend : $\text{[math]}$ on obtient :

Or : $\text{[math]}$ ça donne : $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

L'encadrement est par défaut

Même méthode pour l'autre cas.

**mehdi_128** · 18/08/2018, 16h37

Par contre pourriez vous détailler votre remarque : "ce qui n'est pas le cas si on a une valeur exacte à 10^(-n) près"."
J'ai pas compris ce passage.

Merlin95 · 18/08/2018, 16h38

Envoyé par mehdi_128

Même méthode pour l'autre cas.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ satisfait l'égalité.

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