Nombre Pi et polygone étoilé
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Nombre Pi et polygone étoilé



  1. #1
    mehdi_128

    Nombre Pi et polygone étoilé


    ------

    Bonjour,

    Le contexte est : nous allons démontrer que le nombre est lié à l'aire du disque.
    Je suis dans la partie : seconde idée incorrecte car usant de façon détournée le nombre



    Je bloque sur la majoration du polygone par : Nom : 39284466_2261762517176578_227285430171598848_n.jpg
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    Et aussi je comprends pas pourquoi :

    Merci.

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Pour chaque sommet, il y a 2 segments, chacun plus grand que la "largeur" de la couronne, qui est la différence des deux rayons.
    N'est-ce pas évident ?

    Pour la suite, je ne vois pas, mais je n'ai que cette page de ton livre, pas ce qui est avant (qui en parle peut-être) ou après (où il peut y avoir une explication)

  3. #3
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Vous voulez dire chaque côté du polygone c vérifie (on le voit visuellement après à démontrer je dirais la projection orthogonale sur la tangente au cercle minimise la distance ...) :



    Comme il y a 2n côtés ça donne : ?

    Je vous mets les détails :

    Nom : 39389857_653927494980798_2726886598930071552_n.jpg
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  4. #4
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    mehdi, c'est une minoration , pas une majoration.
    ensuite la question est bien "peut-on s'en servir pour approximer la circonférence d'un cercle ?".
    la réponse est évidemment non, au même titre qu'une fct f(x) qui tend vers 0 sur un segment [a;b] voit la longueur de sa courbe tendre vers b-a.
    l'exemple type est celle des sinus avec des fréquences qui augmentent et une amplitude qui diminue proportionnellement
    fn(x)=(1/n)sin(nx) tend vers 0 , alors que sa longueur reste constante. ( env 7,64 entre 0 et 2pi ; et 7,64 diff de 2pi )

    ici c'est pire car on aboutirait a un pi potentiellement infini car toujours sup à k pour tout k.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Vous voulez dire chaque côté du polygone c vérifie (on le voit visuellement après à démontrer je dirais la projection orthogonale sur la tangente au cercle minimise la distance ...) :
    non, il y a n sommets donc 2n cotés.
    chaque coté est plus grand que la hauteur des "triangles" ( c'est évident non ? ) , et celle ci est sup à (r-rho)

    ps: quoi c'est la "projection orthogonale sur la tangente" ??????

  7. #6
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Pour GG0

    Nom : 39504307_1764072737041181_109992587737169920_n.jpg
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  8. #7
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    non, il y a n sommets donc 2n cotés.
    chaque coté est plus grand que la hauteur des "triangles" ( c'est évident non ? ) , et celle ci est sup à (r-rho)

    ps: quoi c'est la "projection orthogonale sur la tangente" ??????
    Ah d'accord merci ! La longueur d'un côté du polygone est plus grande que h donc à fortiori de ...

    Et pour le soit ?

  9. #8
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Et pour le soit ?
    mais cette déduction est erronée car ce n'est pas parce qu'une courbe tend vers une autre que leurs longueurs coïncident.
    je t'ai donné un exemple avec une suite de fct sin.

  10. #9
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    mieux, si on prend la suite des fonctions
    fn(x) =(1/n)sin(n²x) , ces fonctions tendent vers 0 et leurs longueurs tendent vers l'inf quand n -> l'inf ( sur un intervalle donné 0;2pi par exemple )

  11. #10
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    mieux, si on prend la suite des fonctions
    fn(x) =(1/n)sin(n²x) , ces fonctions tendent vers 0 et leurs longueurs tendent vers l'inf quand n -> l'inf ( sur un intervalle donné 0;2pi par exemple )
    J'ai pas compris le lien avec mon problème et aussi c'est quoi la longueur d'une fonction ?

  12. #11
    invitedd63ac7a

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    On retrouve encore ici un problème de mesure non pas au sens élémentaire, mais au sens de théorie de l'intégration. C'est assez compliqué et c'est enseigné en L3. Je donne tout de même le lien de wiki, mais cela reste difficile à comprendre si l'on n'a pas suivi un cours sur l'intégrale de Lebesgue. Cela donne des exemples paradoxaux, comme celui donné au début de ce fil, mais qui, de toute façon, sont difficiles à résoudre pour la raison donnée ci-dessus.
    En gros, on a un ensemble E, sur lequel on veut pouvoir mesurer certaine de ses parties, on construit alors une application m de ces partie sur IR+ qui obéit à certaines propriétés évidentes qu'on attend pour une mesure au sens intuitif du terme: en gros ce que fait le petit élève avec sa règle graduée.
    Ainsi, si A et B sont 2 parties disjointes m(A)+m(B)=m(AUB).

    Exemple E=IR, On choisit comme ensemble de parties les intervalles [a;b] ou ]a;b[, a et b réels. On peut prendre comme mesure m([a;b])=m(]a;b[)=|b-a|, c'est la plus commune, celle qu'on utilise tous les jours. Mais on peut imaginer pleins d'autres mesures telles la longueur commune du demi-cercle s'appuyant sur a et b, dans ce cas m([a;b])=Pix|b-a|/2, ce qui conduit à des résultats paradoxaux si on interprète mal les résultats : la longueur d'un segment =Pi.
    Dans l'exemple donné au début de ce fil, la mesure considérée d'un segment est la longueur des deux côtés d'un triangle s'appuyant sur les bornes du segment [a;b]. Comme un segment est découpable en petit segments, la propriété énoncée au-dessus permet de dire qu'en prenant des découpages de plus en plus fin les petits triangles tendent vers le segment alors que sa mesure donne un résultat inattendue... et faux au sens commun du terme.

  13. #12
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    @mehdi :
    je ne parlais que de la première "idée fausse": 2pi >= 2k est fausse !
    la deuxième idée fausse n'est plus sur le périmètre mais sur l'aire , et je n'ai pas commenté ce chapitre.

    ceci dit je trouve que les explications sur la fausseté des raisonnements n'est pas terrible, elle consiste à dire que intuition n'est pas réalité, sans expliquer pourquoi mathématiquement.

    @eudéa:
    il n'est pas étonnant que cela soit enseigné en L3 ( à mon époque c'était en sup ) , car Mehdi fait des exercices en vue de préparer le CAPES.
    mais je ne sais pas quel livre de cours il a à sa disposition.

  14. #13
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    J'ai pas compris le lien avec mon problème et aussi c'est quoi la longueur d'une fonction ?
    la longueur d'une courbe en général est la somme des distances infinitésimales pour la parcourir

    soit par exemple pour la courbe d'une fonction f(x) sur le segment [a;b]
    ou ici la longueur totale du polygone , c-a-d la somme de toutes les longueurs de chaque segment.

    donc ma remarque concerne la première idée fausse .
    même si les graphiques ne le montrent pas clairement, on peut choisir rho et k indépendamment pour construire le polygone.
    en faisant tendre rho vers r les polygones se retrouvent "coincé" entre les rayon rho et r, quel que soit k.
    d'où la question : "peut on s'en servir pour approximer la circonférence du cercle, si oui …."
    et la réponse à cette question est NON.
    au même titre que si une suite fn(x) tend vers g(x)
    on ne peut en déduire que les longueurs des courbes de fn(x) tend vers celle de g(x).

    je n'ai pas regardé en détail le développement de la seconde "idée fausse" sur l'aire à l'intérieur du cercle.
    mais je suppose que le iatus est du même ordre

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Pour la longueur d'une courbe, voir par exemple Wikipédia, en particulier la définition de Jordan.
    Les polygones étoilés n'ont pas tous leurs sommets sur la courbe.

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 18/08/2018 à 13h36.

  16. #15
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    On retrouve encore ici un problème de mesure non pas au sens élémentaire, mais au sens de théorie de l'intégration. C'est assez compliqué et c'est enseigné en L3. Je donne tout de même le lien de wiki, mais cela reste difficile à comprendre si l'on n'a pas suivi un cours sur l'intégrale de Lebesgue. Cela donne des exemples paradoxaux, comme celui donné au début de ce fil, mais qui, de toute façon, sont difficiles à résoudre pour la raison donnée ci-dessus.
    En gros, on a un ensemble E, sur lequel on veut pouvoir mesurer certaine de ses parties, on construit alors une application m de ces partie sur IR+ qui obéit à certaines propriétés évidentes qu'on attend pour une mesure au sens intuitif du terme: en gros ce que fait le petit élève avec sa règle graduée.
    Ainsi, si A et B sont 2 parties disjointes m(A)+m(B)=m(AUB).

    Exemple E=IR, On choisit comme ensemble de parties les intervalles [a;b] ou ]a;b[, a et b réels. On peut prendre comme mesure m([a;b])=m(]a;b[)=|b-a|, c'est la plus commune, celle qu'on utilise tous les jours. Mais on peut imaginer pleins d'autres mesures telles la longueur commune du demi-cercle s'appuyant sur a et b, dans ce cas m([a;b])=Pix|b-a|/2, ce qui conduit à des résultats paradoxaux si on interprète mal les résultats : la longueur d'un segment =Pi.
    Dans l'exemple donné au début de ce fil, la mesure considérée d'un segment est la longueur des deux côtés d'un triangle s'appuyant sur les bornes du segment [a;b]. Comme un segment est découpable en petit segments, la propriété énoncée au-dessus permet de dire qu'en prenant des découpages de plus en plus fin les petits triangles tendent vers le segment alors que sa mesure donne un résultat inattendue... et faux au sens commun du terme.
    Merci, en effet pas du tout de mon niveau le document wikipédia. C'est un livre de MPSI mais dans une partie "Compléments" et tout est démontré avec des outils de collège/lycée et L1 comme la borne supérieure.
    J'ai saisi quelques bribes comme la mesure de la distance usuelle dans R.
    Après sans entrer dans la théorie visuellement, on se dit que en augmentant le nombre de sommets du polygone étoilés, le polygone tendra vers le cercle.

  17. #16
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    la longueur d'une courbe en général est la somme des distances infinitésimales pour la parcourir

    soit par exemple pour la courbe d'une fonction f(x) sur le segment [a;b]
    ou ici la longueur totale du polygone , c-a-d la somme de toutes les longueurs de chaque segment.

    donc ma remarque concerne la première idée fausse .
    même si les graphiques ne le montrent pas clairement, on peut choisir rho et k indépendamment pour construire le polygone.
    en faisant tendre rho vers r les polygones se retrouvent "coincé" entre les rayon rho et r, quel que soit k.
    d'où la question : "peut on s'en servir pour approximer la circonférence du cercle, si oui …."
    et la réponse à cette question est NON.
    au même titre que si une suite fn(x) tend vers g(x)
    on ne peut en déduire que les longueurs des courbes de fn(x) tend vers celle de g(x).

    je n'ai pas regardé en détail le développement de la seconde "idée fausse" sur l'aire à l'intérieur du cercle.
    mais je suppose que le iatus est du même ordre
    Merci j'ai mieux compris !

    J'étudie sur ce livre (ici c'est une partie Compléments pas au programme dans le chapitre sur les suites réelles), d'ailleurs j'aurais une autre question de géométrie qui me bloque que je poserai sur le fil.

    Nom : images.jpg
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  18. #17
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Après sans entrer dans la théorie visuellement, on se dit que en augmentant le nombre de sommets du polygone étoilés, le polygone tendra vers le cercle.
    non, le piège n'est pas là.
    en augmentant le cercle intérieur , le polygone est "coincé" entre les deux cercles , quelque soit le nb de sommets. ( le minimum étant 4 d'ailleurs, et sans limite maximale )
    donc on "pourrait" en déduire que la longueur du polygone devient celle du cercle, ce qui est faux ( pour la même raison mais présentée différemment par les uns et les autres ).

    maintenant, si ton but est à terme le CAPES, il ne faut pas s'étonner que les domaines/concepts dépassent largement le niveau Lycée.

  19. #18
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    désolé, pas vu ton post précédent avant de mettre ce dernier.

  20. #19
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    non, le piège n'est pas là.
    en augmentant le cercle intérieur , le polygone est "coincé" entre les deux cercles , quelque soit le nb de sommets. ( le minimum étant 4 d'ailleurs, et sans limite maximale )
    donc on "pourrait" en déduire que la longueur du polygone devient celle du cercle, ce qui est faux ( pour la même raison mais présentée différemment par les uns et les autres ).

    maintenant, si ton but est à terme le CAPES, il ne faut pas s'étonner que les domaines/concepts dépassent largement le niveau Lycée.
    On a :

    Quand le nombre de sommets augmente, le rayon du cercle intérieur augmente et tend vers r donc le polygone étoilé se rapproche de plus en plus du cercle.

  21. #20
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Je bloque sur de la géométrie (dommage qu'on en fasse plus dans le supérieur). J'ai cette figure :

    Nom : 39467620_465255663973912_8495258523360296960_n.jpg
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    Comme : et comme est la bissectrice de l'angle alors on a égalité des distances :



    Par la propriété des bissectrices, on voit que :

    Mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi on a :

  22. #21
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    On a :

    Quand le nombre de sommets augmente, le rayon du cercle intérieur augmente et tend vers r donc le polygone étoilé se rapproche de plus en plus du cercle.
    oui, mais ce n'est pas pour autant que la longueur de ce polygone se rapproche du périmètre du cercle.
    n'as tu pas compris les explications données par les uns et les autres ?

  23. #22
    invite23cdddab

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Oui, mais aucune raison que son périmètre se rapproche de celui du cercle. D'ailleurs, à rayon des cercles fixés, on peut fabrique un polynôme de périmètre arbitrairement grand

  24. #23
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    oui, mais ce n'est pas pour autant que la longueur de ce polygone se rapproche du périmètre du cercle.
    n'as tu pas compris les explications données par les uns et les autres ?
    Si si vous m'avez donné des contre exemples avec les suites de fonction... D'ailleurs :

    Si on a :

    On avait dit que le périmètre du polygone est majoré par :

    Le polygone est de plus en plus proche du cercle C lorsque n augmente. Si on considère que le polygone peut approximer la circonférence du cercle on aurait (par l'absurde) pour n très grand que le périmètre du polygone se rapproche de la circonférence du cercle tout en restant inférieur :
    soit

    Il suffit de prendre pour obtenir contradiction.

    Si on adapte

    On trouve :

    Par passage à la limite :

    Ce qui suit est mon interprétation pas celle de l'auteur :

    Donc : soit soit : c'est pas un peu bizarre strictement supérieur à l'infini ?

    Enfin :

    On a inscrit entre le cercle C et le cercle intérieur concentrique aussi proche voulu de C, une ligne polygonale tendant vers

  25. #24
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Si on adapte

    On trouve :

    Par passage à la limite :

    Ce qui suit est mon interprétation pas celle de l'auteur :

    Donc : soit soit : c'est pas un peu bizarre strictement supérieur à l'infini ?

    Enfin :
    il est inutile d'adapter rho, pour n'importe rayon intérieur , tu peux construire un polygone de la longueur > L choisie.
    concernant ton "interprétation", je ne comprend pas, pourquoi écrire un truc > l'inf dans cette histoire. en plus cela n'a pas de sens.

    pas encore vu ton pb de géométrie , d'ailleurs mal écrit car tu écris deux fois les mêmes distances

  26. #25
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    il est inutile d'adapter rho, pour n'importe rayon intérieur , tu peux construire un polygone de la longueur > L choisie.
    concernant ton "interprétation", je ne comprend pas, pourquoi écrire un truc > l'inf dans cette histoire. en plus cela n'a pas de sens.

    pas encore vu ton pb de géométrie , d'ailleurs mal écrit car tu écris deux fois les mêmes distances
    Bah l'auteur dit :

    Il est donc possible d'inscrire, entre le cercle C et un cercle intérieur concentrique aussi proche que l'on veut de C, une ligne polygonale de longueur tendant vers .

    Ah j'ai compris, on suppose que la ligne polygonale tend vers le périmètre du cercle or on a montré que ce dernier tend vers l'infini donc ça voudrait dire que la ligne polygonale tend vers l'infini.

    Oui j'ai fait une erreur l'inégalité est :

  27. #26
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Par la propriété des bissectrices, on voit que :
    ça c'est faux , on a justement ici
    et comme par symétrie on a :

    on en déduit

  28. #27
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Ah j'ai compris, on suppose que la ligne polygonale tend vers le périmètre du cercle or on a montré que ce dernier tend vers l'infini donc ça voudrait dire que la ligne polygonale tend vers l'infini.
    ce n'est pas exactement cela :
    quel que soit le rayon intérieur , on peut construire un polygone de longueur aussi grande que l'on veut , et ce même si ce rayon intérieur se rapproche autant que l'on veut du rayon du cercle.

    pour la géométrie, je t'ai répondu.

  29. #28
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ce n'est pas exactement cela :
    quel que soit le rayon intérieur , on peut construire un polygone de longueur aussi grande que l'on veut , et ce même si ce rayon intérieur se rapproche autant que l'on veut du rayon du cercle.

    pour la géométrie, je t'ai répondu.
    Et comment savez vous qu'on peut construire un polygone de longueur aussi grande que l'on veut ? Vous déduisez ça de ?

  30. #29
    mehdi_128

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ça c'est faux , on a justement ici
    et comme par symétrie on a :

    on en déduit
    J'ai pas compris comment vous obtenez : et

  31. #30
    invite51d17075

    Re : Nombre Pi et polygone étoilé

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Et comment savez vous qu'on peut construire un polygone de longueur aussi grande que l'on veut ? Vous déduisez ça de ?
    tu as oublié les posts précédents.
    chaque coté c du polygone vérifie
    c > (r-rho)
    donc le périmètre de longueur 2kc vérifie
    p > 2k(r-rho)
    supposons r-rho= eps ( même tout petit )
    si on veux p > L , il suffit de choisir k tel que
    k > L/2eps

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