Problème équivalent

[IpopChuruch]

Bonjour à tous, un petit exercice de prérentrée qui me pose problème sur les fonctions et les équivalents. Si quelqu'un pouvait prendre la peine de me répondre, ce serait gentil.

Soit f une fonction définie sur R par : f(x)=x^2/(exp(x)-exp(-x)) si x non nul ou f(x)=0 si x est nul.

1- Justifier que f est continue en 0 : Fait en étudiant les limites à gauche et à droite en 0

2- Justifier que f est dérivable en 0 : La limite en 0 de la fonction est de 1/2. Elle est donc dérivable en 0 et f'(0)=1/2

3- Déterminer un équivalent de f(x)-f'(0)*x lorsque x->0. Préciser la position relative de la courbe C représentative de f par rapport à sa tangente T au point d'abscisse 0.

Là je bloque. Après des heures de recherche, je reste bloqué à f(x)-1/2x ~ x^2/2 * (1/(exp(x)+1))

Pourriez-vous m'aider svp? Merci
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[gg0]

Bonjour.

En 0,

Cordialement.

NB : Je n'ai pas vérifié tes calculs, le +1 m'a surpris.

[eudea-panjclinne]

2- Justifier que f est dérivable en 0 : La limite en 0 de la fonction est de 1/2. Elle est donc dérivable en 0 et f'(0)=1/2

La limite de la fonction en 0 est 0. Le résultat de la dérivée est correct mais la raison invoquée est fausse, c'est l'inverse qui est vraie : une fonction dérivable en x0 est continue en x0.
Si vous connaissez, vous pouvez utiliser un développement limité de l'exponentielle à l'ordre 2 en 0 : exp(x)=1+x+x^2/2 +x^2Epsilon(x), avec limite de Epsilon(x) en 0 égale à 0, x réel.

3- Déterminer un équivalent de f(x)-f'(0)*x lorsque x->0. Préciser la position relative de la courbe C représentative de f par rapport à sa tangente T au point d'abscisse 0.

Utilisez un développement limité de l'exponentielle à l'ordre 3 en 0 : exp(x)=1+x+x^2/2 +x^3/6+x^3Epsilon(x)

[eudea-panjclinne]

A vrai dire je ne vois pas comment faire sans l'aide de développement limité, si quelqu'un à mi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[eudea-panjclinne]

si quelqu'un à mi

....Si quelqu'un a mieux...
Pour l'équivalent de la dernière question je trouve -x^3/12.

[gg0]

Maple confirme. Donc le calcul initial de IpopChuruch est faux.
Comme on n'a pas son calcul, et qu'on ne sait pas de quels équivalents il dispose ...

Cordialement.

[stefjm]

....Si quelqu'un a mieux...

Peut-être le théorème des accroissements finis généralisé ou la règle de l'Hôpital?

[IpopChuruch]

Bonjour à tous et merci de votre aide.

Je comprends votre rectification à la deuxième question et je me suis mal exprimé. J'avais bien calculé la limite en 0 du rapport f(x)-f(0)-(x-0). Cela correspond à la définition de la dérivée si je ne me trompe pas.

Quant à la troisiéme question, je pense que le résultat que vous avez trouvé (-x^3/12) est le bon si je regarde un développement limité de la fonction. Le problème est que je ne sais pas du tout comment vous y êtes parvenus et je ne suis pas très à l'aise avec les équivalences/ développements limités. Pourriez-vous me donner la méthode que vous avez globalement suivi pour que je parvienne à mon tour à réussir le calcul??

Merci encore

[stefjm]

Que connaissez-vous des DL?

[IpopChuruch]

Bonjour,

je n'ai vu des développements limités que les classiques obtenus grâce à la formule de Taylor Young(sinus/cosinus/exponentielle,logarithme...).D éfinition d’un développement limité. Somme et produit de développements limités. AInsi que quelques exercices mais pas la règle de l'hôpital ou le théorème des accroissement finis généralisé.

[IpopChuruch]

En faisant le calcul, je bloque à f(x) - 1/2x = x/2 * ((-x^3/3+o(x^3)/(2x + x^3/3+o (x^3)))

Et là je ne sais pas comment faire...

[stefjm]

Donc, vous vous en sortez avec un DL3 comme suggéré par eudea-panjclinne message 3

Edit croisement

[IpopChuruch]

Je bloque ici mais j'ai bien utilisé le conseil du DL à l'ordre 3

[gg0]

Bonjour.

Revois le cours pour le lien entre DL et équivalents. Tu as


Cordialement.

[IpopChuruch]

Merci beaucoup, j'avais en effet oublié la troncature.

Merci encore pour tout ce que vous avez fait et le temps que vous avez tous pris.

Y a-t-il besoin que je précise dans le titre que le sujet est clos??

[gg0]

Aucune importance, même si tu le fais, il est possible d'intervenir à la suite.

Cordialement.