Erreur dans un calcul de limite

**KFSHU** · 10/09/2018, 20h59

Bonjour, j’ai calculé la limite d’une suite (an), je trouve 1 mais ce résultat est faux, la limite vaut en réalité 1/sqrt(e). Cependant ma démarche me semble juste mais il y a forcément un erreur. J’aimerais savoir à quel niveau elle se situe.

Nom : Capture d’écran 2018-09-10 à 20.54.00.jpg
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(Désolé d'avoir mis la "démo" en image, je ne pouvais pas coller le texte avec les notations)

**Médiat** · 10/09/2018, 23h30

Bonjour,

$\text{[math]}$ est une forme indéterminée (votre dernier "donc" est faux) ; un DL vous donnera la solution

**Anonyme007** · 11/09/2018, 00h57

Bonsoir,

Avant de s'attaquer au $\text{[math]}$ comme l'a souligné Mediat, il faut d'abord, quelques préparatifs :

On a : $\text{[math]}$ , d'où, le fait que : $\text{[math]}$ à l’intérieur de la fonction : $\text{[math]}$ dans : $\text{[math]}$ , tend vers : $\text{[math]}$ et non vers $\text{[math]}$ , nous fait penser qu'on est en route d'appliquer un $\text{[math]}$ , au lieu de : $\text{[math]}$ , or, on ne peut pas, puisqu'il faut un $\text{[math]}$ , et non, un $\text{[math]}$ , d'où l'application de l'astuce suivante :
On a : $\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ s'écrit : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ qui tend vers $\text{[math]}$ , lorsque : $\text{[math]}$ .
Si vous retournez dans votre table de $\text{[math]}$ , vous trouverez qu'il contient le $\text{[math]}$ de la fonction : $\text{[math]}$ , c'est à dire, lorsque $\text{[math]}$ , ce qui est le cas pour ta suite : $\text{[math]}$ dans : $\text{[math]}$ , qui tend vers $\text{[math]}$ lorsque : $\text{[math]}$ . Donc, tu appliques le $\text{[math]}$ à ta suite : $\text{[math]}$ puisqu'elle se met, comme j'ai dit, sous la forme : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ lorsque : $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**Anonyme007** · 11/09/2018, 01h14

Envoyé par Anonyme007

...or, on ne peut pas, puisqu'il faut un $\text{[math]}$ , et non, un $\text{[math]}$ , d'où l'application de l'astuce suivante : ...

Je dis ça, parce que le point de référence standard dans un DL, est, au voisinage de $\text{[math]}$ , toujours , et pas au voisinage d'un autre point $\text{[math]}$ , c'est à dire on applique un $\text{[math]}$ , et non un : $\text{[math]}$ , donc jamais on applique un $\text{[math]}$ en exercices, avec : $\text{[math]}$ , parce que, la table de $\text{[math]}$ qu'on vous distribue en classe au début de l'année scolaire, ne contient que le DL de prototype de fonctions au voisinage de $\text{[math]}$ , et pas au voisinage d'un autre point $\text{[math]}$ . Donc, pour appliquer un $\text{[math]}$ , il faut toujours recentrer l'expression de la fonction ou suite à étudier de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ pour lui appliquer un $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ , comme j'ai fait pour ton exercice, car comme j'ai dit, la table de DL qu'on vous distribue en classe au début de l'année scolaire, ne contient que le DL de prototype de fonctions au voisinage de $\text{[math]}$ , et pas au voisinage d'un autre point $\text{[math]}$ .
J'espère que c'est claire.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 11/09/2018, 09h22

Bonjour KFSHU,

Je doute ques les "explications" précédentes vous mènent vers plus de compréhension et encore moins vers le résultat.

La solution proposée $\text{[math]}$ est correcte et se trouve en une ligne..

**Anonyme007** · 11/09/2018, 12h04

Non, le traitement de cette suite ne se fait pas en une ligne. Impossible. Sinon, tu appliques une fausse méthode. Tu peux rédiger ta méthode qui se tient en une ligne pour voir si ce que tu dis est vrai ?

**Médiat** · 11/09/2018, 12h25

Envoyé par Anonyme007

Non, le traitement de cette suite ne se fait pas en une ligne.

Vous avez raison 1/2 ligne suffit.

**KFSHU** · 11/09/2018, 14h28

Envoyé par Médiat

Bonjour,

$\text{[math]}$ est une forme indéterminée (votre dernier "donc" est faux) ; un DL vous donnera la solution

Merci pour ce rappel, je tombe généralement sur des F.I type inf/inf etc, celle-ci je l'avais oublié.

**KFSHU** · 11/09/2018, 14h45

Envoyé par Anonyme007

Bonsoir,

Avant de s'attaquer au $\text{[math]}$ comme l'a souligné Mediat, il faut d'abord, quelques préparatifs :

On a : $\text{[math]}$ , d'où, le fait que : $\text{[math]}$ à l’intérieur de la fonction : $\text{[math]}$ dans : $\text{[math]}$ , tend vers : $\text{[math]}$ et non vers $\text{[math]}$ , nous fait penser qu'on est en route d'appliquer un $\text{[math]}$ , au lieu de : $\text{[math]}$ , or, on ne peut pas, puisqu'il faut un $\text{[math]}$ , et non, un $\text{[math]}$ , d'où l'application de l'astuce suivante :
On a : $\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ s'écrit : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ qui tend vers $\text{[math]}$ , lorsque : $\text{[math]}$ .
Si vous retournez dans votre table de $\text{[math]}$ , vous trouverez qu'il contient le $\text{[math]}$ de la fonction : $\text{[math]}$ , c'est à dire, lorsque $\text{[math]}$ , ce qui est le cas pour ta suite : $\text{[math]}$ dans : $\text{[math]}$ , qui tend vers $\text{[math]}$ lorsque : $\text{[math]}$ . Donc, tu appliques le $\text{[math]}$ à ta suite : $\text{[math]}$ puisqu'elle se met, comme j'ai dit, sous la forme : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ lorsque : $\text{[math]}$ .

Cordialement.

Merci pour cette réponse très explicative, j'ai bien compris le raisonnement mais je n'ai pas réussi à trouver le bon résultat

**Anonyme007** · 11/09/2018, 15h25

Salut :

D'abord, je ne sais pas si mon calcul est correct, mais le voiçi :
Moi, je trouve : $\text{[math]}$ et non pas $\text{[math]}$ , bizarre.

Je m'excuse si je fais des erreurs.
ça fait plus de $\text{[math]}$ ans que je n'ai pas pratiqué ça.

On a, d'après la table de DL au voisinage de $\text{[math]}$ extraite de la page wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...nt_limit%C3%A9
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ .
Par conséquent :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ , lorsque : $\text{[math]}$ .
J'espère que quelqu'un viendra me corriger et me montrer où se situe mon erreur.

**Anonyme007** · 11/09/2018, 15h36

Pardon, je voulais écrire :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et non :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

**Médiat** · 11/09/2018, 16h11

Envoyé par Anonyme007

Moi, je trouve : $\text{[math]}$ et non pas $\text{[math]}$ , bizarre.

Pas bizarre : c'est juste faux.

KFSHU : il n'y a aucune "astuce" : un DL standard, plus un résultat de limite "bien connu" et c'est terminé ! (Cela se calcule de tête, même si une rédaction rigoureuse s'impose)

**Anonyme007** · 11/09/2018, 16h35

Mais, où se situe mon erreur Mediat ? à quel passage ?

**Médiat** · 11/09/2018, 16h44

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$

Cela est juste mais n'a rien à faire ici.

invite51d17075 · 11/09/2018, 17h37

Envoyé par Anonyme007

Mais, où se situe mon erreur Mediat ? à quel passage ?

parce que les deux "indices" sont liées.
si on suit ta démarche alors
$\text{[math]}$
alors qu'elle vaut 1/e

**KFSHU** · 11/09/2018, 17h44

Envoyé par Anonyme007

Moi, je trouve : $\text{[math]}$ et non pas $\text{[math]}$ , bizarre.

j'avais trouvé ce même résultat avec la méthode que vous avez proposé... effectivement c'est bizarre

**KFSHU** · 11/09/2018, 17h50

Envoyé par ansset

parce que les deux "indices" sont liées.
si on suit ta démarche alors
$\text{[math]}$
alors qu'elle vaut 1/e

Le DL de (1+x)^a est donc uniquement valable pour a constant ? Ou il n'est pas valable dans ce cas parce que la croissance indéfinie de a engendre la convergence vers 0 de x ?

**KFSHU** · 11/09/2018, 17h53

Envoyé par Médiat

KFSHU : il n'y a aucune "astuce" : un DL standard, plus un résultat de limite "bien connu" et c'est terminé ! (Cela se calcule de tête, même si une rédaction rigoureuse s'impose)

De quel résultat sur les limites parlez-vous ?

**Anonyme007** · 11/09/2018, 18h02

Ah, d'accord, merci beaucoup à vous tous les deux, j'ai compris :
Donc,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et d'après wiki :
$\text{[math]}$ au voisinage de : $\text{[math]}$
Donc,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
D'où : $\text{[math]}$ , lorsque : $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**Anonyme007** · 11/09/2018, 18h20

Envoyé par KFSHU

Le DL de (1+x)^a est donc uniquement valable pour a constant ?

Oui, c'est ça. Dans : $\text{[math]}$ , l'exposant : $\text{[math]}$ dépend de : $\text{[math]}$ qui est variable , donc, $\text{[math]}$ est aussi variable et dépend de la variation de $\text{[math]}$ , et donc, n'est pas constante. Donc, on ne peut pas appliquer le DL au voisinage de $\text{[math]}$ de la fonction $\text{[math]}$ pour : $\text{[math]}$ , donc, il faut passer par l'astuce : $\text{[math]}$ pour pouvoir poursuivre le calcul de la limite jusqu'à la fin.

invite23cdddab · 11/09/2018, 21h38

De quel résultat sur les limites parlez-vous ?

La limite de $\text{[math]}$ est un résultat classique.

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