Valeurs absolues

[ancien1957]

Bonjour,
Je n'arrive pas à trouver la solution à cet exercice. Veuillez m'aider SVP. Voici l'énoncé:
Montrer que si x et y sont 2 réels tels que |x|<1 et |y|<1 , alors : (1+xy) > 0 et que -1< [(x+y) / (1+xy)] <1
-----

[gg0]

Bonjour.

En traduisant les inégalités sur les valeurs absolues en inégalités sur x et y, on voit facilement que xy>-1; on se sert ensuite de la positivité de 1+xy pour transformer la deuxième inégalité par multiplication, puis on traite chaque inégalité en mettant tout dans un seul membre.
Indication : 1+xy -x-y est un produit simple.

Bon travail !

[ansset]

salut,
à faire pas à pas, sans chercher d'astuces
si |x|<1 et |y|<1 comment encadres tu
xy et (x+y) ?
edit: pas vu le mess précédent.

[ancien1957]

J'ignore comment encadrer xy et (x+y).
Je suis vraiment désolé.
Aide-moi SVP

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pour la première c'est assez évident.
-1 < x < 1
-1< y < 1 d'où
-1 < xy < 1 donc xy > -1
pour la seconde suivre l'indication de gg0
que l'on peut aussi écrire
x+y=1+xy-(1-x)(1-y)

possible aussi de le faire directement avec les encadrements de base.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Autre méthode classique : Remarquer que

Et la démonstration est quasi immédiate

Cordialement

[ansset]

bien vu la tanh , si "l'ancien" connait cette fct.
sinon:

que l'on peut aussi écrire
x+y=1+xy-(1-x)(1-y)

ce qui permet la première inégalité. et pour la seconde , remplacer x et y en -x et -y !