Unicité racine polynome degré 4

[invite66fedb9b]

Bonjour,

Je viens vers vous pour vous posez une question assez basique je pense,
Quand on résout une équation de type : (x^4)-(10x^2)+9 = 0 ou encore (x^4)-(3x^2)+1= 0 avec la facon on pose X=x^2 et en se ramenant a une équation de second dégré, pour après retrouvé les 4 racines, ma question est donc comment justifié qu'on a UNIQUEMENT ces 4 racines (de degré 4) parce que mon prof l'avait expliqué (avec un encadrmeent mais j'ai pas eu le temps de l'écrire)

PS : Je suis en 1ere année de fac MIP
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[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas quel encadrement peut servir. Mais il y a deux raisons :
* dans tous les cas, comme on est parti de l'idée "si x est une racine" pour obtenir à la fin "x= ..ou ...", les racines ne peuvent valoir que ce qu'on a trouvé, puisque toutes les racines sont concernée.
* dans le cas que tu cites, on on a 4 racines pour un polynôme de degré 4, on a un théorème qui dit qu'un polynôme de degré n a au plus n racines. Donc on sait qu'il n'y en a pas d'autres.

Cordialement.

[invitedd63ac7a]

Quand on résout une équation de type : (x^4)-(10x^2)+9 = 0 ou encore (x^4)-(3x^2)+1= 0 avec la facon on pose X=x^2 et en se ramenant a une équation de second dégré, pour après retrouvé les 4 racines, ma question est donc comment justifié qu'on a UNIQUEMENT ces 4 racines (de degré 4)

*On peut écrire (x^4)-(10x^2)+9=(xˆ2-a)(xˆ2-b) avec a et b solutions de l'équation du 2e degré en X, où
les équation xˆ2-a=0 et xˆ2-b=0 admettent chacune 2 solution dans IR ou C.
* L'autre solution citée par gg0 est celle du théorème fondamental de l'algèbre qui affirme que toute équation à coefficient dans IR (ou dans C) de degré n a au plus n racines dans C.