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petits problèmes sympathiques



  1. #1
    Le_Sphinx
    1°)déterminer les primitives de f(x)=x^3 * exp(x^2)

    2°)calculer l' intégrale de 0 à 1 de la fonction définie et continue sur R par
    f(x)= val abs((sinx * cosx + cosx * sinx * (tanx)^2)/tanX)

    Bravo et bon courage à ceux qui s' y attaquent!
    Super Bravo à ceux qui les réussissent(même si c'est pas si dur:ya un truc)

    -----


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  3. #2
    Marc
    Pour la 2, franchement tu me déçois : de tête ça fait 1, bien sûr ...

    Marc

  4. #3
    Marc
    Pour la 1 :
    (x²-1)exp(x²)/2

    Marc

  5. #4
    lloicus
    heu pour le point 2,

    perso j'arrive a tout simplifié...
    on px récrire ca abs[(sinx*cosx+sinx³/cosx)/tgx]

    ensuite
    on met sinx en évidence :
    abs[sinx(cosx+(1-cosx²)/cosx)/tgx]
    on distribue le 1/cosx a 1-cos²x

    abs[sinx(cosx-cosx+1/cosx)/tgx]

    a partir d'ici ca devient vraiment évident :
    on redistribue le sinx
    abs[(sinx/cosx)/tgx] -> abs[tgx/tgx]
    abs[1] -> 1
    intégrale de 0 a 1 de [1] c'est : 1-0 = 1

    par contre ta primitive en un n'est pas si évidente que ca.... j'aime pas les primitive :s beurk (a mon avis, elle est a résoudre avec la méthode par partie)
    ++

  6. #5
    Marc
    Citation Envoyé par lloicus
    par contre ta primitive en un n'est pas si évidente que ca.... j'aime pas les primitive :s beurk (a mon avis, elle est a résoudre avec la méthode par partie)
    ++
    Exact : poser u'(x)=2xexp(x²) et v(x)=x²/2

    Marc

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    lloicus
    Marc tu ne sais pas ou je peux trouver des table d'integration sur le net?
    genre la table de chaum

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  10. #7
    Marc
    Citation Envoyé par lloicus
    Marc tu ne sais pas ou je peux trouver des table d'integration sur le net?
    genre la table de chaum
    Non je vois pas. Mais à mon avis l'intérêt est limité. Je préfère tout faire au feeling. D'ailleurs si t'as des soucis d'intégrales, je dois pouvoir t'aider.

    Marc

  11. #8
    Le_Sphinx
    La solution de marc pour la primitive n' est pas mal, mais on pouvait utiliser le fait que,qu'on la dérive ou pas, avec l' exponentielle on aura un facteur exp(x^2) partout :
    en admettant alors que F(x) est de la forme F(x)=(ax^2+bx+c)*exp(x^2)
    on a f(x)=F'(x)=(2ax+b)*exp(x^2) + 2x*(ax^2+bx+c)*exp(x^2)
    alors F'(x)=(2ax^3+2bx^2+(2a+2c)x+b) *exp(x^2)
    or F'(x)=f(x)=x^3*exp(x^2)
    d'où, par identification,
    2a=1 2b=0 2a+2c=0
    a=1/2 b=0 c=-1/2
    donc F(x)=((1/2)*x^2-(1/2))exp(x^2)

    Ce qui est quand même nettement plus élégant!

    A présent, résolvez de la même manière TOUTES les primitives des fonctions de la forme f(x)=x^(n+1)*exp(x^n) n E N
    et même, si vous en avez le courage,
    celles des fonctions de la forme f(x)=x^p*exp(x^n) n et p E N

    Bonne chance!

  12. #9
    Marc
    Citation Envoyé par Le_Sphinx
    La solution de marc pour la primitive n' est pas mal, mais on pouvait utiliser le fait que,qu'on la dérive ou pas, avec l' exponentielle on aura un facteur exp(x^2) partout :
    en admettant alors que F(x) est de la forme F(x)=(ax^2+bx+c)*exp(x^2)
    on a f(x)=F'(x)=(2ax+b)*exp(x^2) + 2x*(ax^2+bx+c)*exp(x^2)
    alors F'(x)=(2ax^3+2bx^2+(2a+2c)x+b) *exp(x^2)
    or F'(x)=f(x)=x^3*exp(x^2)
    d'où, par identification,
    2a=1 2b=0 2a+2c=0
    a=1/2 b=0 c=-1/2
    donc F(x)=((1/2)*x^2-(1/2))exp(x^2)

    Ce qui est quand même nettement plus élégant!
    C'est une blague ou quoi

    Marc

  13. #10
    folky

    Re : petits problèmes sympathiques

    mdr dans la mesure ou marc à juste donnée la réponse c'est vrai qu'on se demande avec quoi tu compares ^^

  14. #11
    Le_Sphinx

    Unhappy Re : petits probl?s sympathiques

    Exact j' ai du confondre avec la solution d' un autre Marc que je connais et qui a noté sa réponse sur mon agenda (je note tous mes problèmes sur mon agenda, ainsi que les réponses de mes potes)
    j' ai du confondre
    j' ai honte
    toutes mes excuses Ã* Marc
    sans rancune...

  15. #12
    Sharp

    Re : petits problèmes sympathiques

    Pour la 1 c'est facile c'est 1/4 x^4.

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  17. #13
    Le_Sphinx

    Re : petits problèmes sympathiques

    Citation Envoyé par Sharp
    Pour la 1 c'est facile c'est 1/4 x^4.
    desole sharp mais la dérivée de f(x)=1/4x^4 c'est
    f'(x)=4/4x^3=x^3
    Or on cherche les primitives de f(x)=x^3*exp(x^2)
    réessaye et bonne chance!

  18. #14
    Sharp

    Re : petits problèmes sympathiques

    hé hé j'avis pas vu le multiplié! mdr Je me disais aussi... Surtout que je suis qu'en première, alors je suis pas prêt de te résoudre un problème avec des exponentielles...

  19. #15
    Le_Sphinx

    Wink Re : petits problèmes sympathiques

    Si t ' es suffisamment intelligent pour pour comprendre les primitives en première tu peut sans doute comprendre la fonction exponentielle:
    c'est la seule telle que f'(x)=f(x) et f(0)=1

  20. #16
    Coincoin

    Re : petits problèmes sympathiques

    Ou bien c'est tout simplement la fonction réciproque de la primitive de x->1/x qui s'annule en 1 (la primitive, pas la fonction réciproque... )

  21. #17
    Sharp

    Re : petits problèmes sympathiques

    J'essaye de trouver la primitive de 1/x, et franchement je lutte (je connais pas les formules).

  22. #18
    Sharp

    Re : petits problèmes sympathiques

    Je ne ais pas si je suis bien parti, mais j'essaye de trouver une fonction de la forme f/g avec g=racine de x comme ça la dérivée donne x au dénominateur. Après, j'arrive pas à trouver le numérateur tel que f'g-fg'=1. Je crois que je suis mal parti...
    Est-ce que ça fait entrer en jeu des fonctions qu'on ne voit pas en première?

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  24. #19
    Quinto

    Re : petits problèmes sympathiques

    Oui complétement.
    La primitive de x->1/x qui s'annule en 1 s'appelle la fonction logarithme népérien et se note ln.
    En fait on peut montrer facilement qu'elle est bijective de R*+ dans R et que sa bijection réciproque g vérifie g(0)=1 et g'(x)=g(x) pour tout x, et ca c'est formidable, ca permet de résoudre pas mal d'équations différentielles.

    En gros, la fonction exponentielle (ici c'est cette fonction g) est aux fonctions continues ce que la suite géométrique est aux suites numériques.

    C'est assez simple de montrer que pour x et y positifs alors ln(x+y)=ln(x)+ln(y) et ca c'est fondamental !!

  25. #20
    Rincevent

    Re : petits problèmes sympathiques

    Citation Envoyé par Quinto
    C'est assez simple de montrer que pour x et y positifs alors ln(x+y)=ln(x)+ln(y) et ca c'est fondamental !!
    tu voulais évidemment dire ln(x*y) = ln(x) + ln(y)

    Sharp:

    - tu ne pourras jamais écrire la fonction ln à l'aide des fonctions que tu connais donc ne perds pas ton temps;
    - si tu veux plus d'infos sur ln: http://www.schoolangels.be/math/cours/ln/ln.html

    et tu dois même pouvoir trouver d'autres sur ln et la fonction exponentielle dans la partie "humour scientifique"...

  26. #21
    Quinto

    Re : petits problèmes sympathiques

    Heu...
    Evidemment...
    C'est un peu la honte là quand même
    Oui bien sur que c'est ln(xy)=ln(x)+ln(y)

    Ce que l'on peut faire pour le ln c'est remarquer que
    ln(1+x)=x+x²/2+x^3/3+x^4/4+...+x^n/n+....

    Mais évidemment la somme s'étend à l'infini, puisque comme le dit Rincevent (et quand il dit quelque chose on peut lui faire confiance...) ce n'est pas "exprimable" à l'aide de fonctions connues.

  27. #22
    Quinto

    Re : petits problèmes sympathiques

    Et là c'est encore la honte...
    Evidemment je voulais dire:

    x-x²/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5-x^6/6+...
    Whaoo, je fatigue ...

  28. #23
    Sharp

    Re : petits problèmes sympathiques

    Salut,
    merci pour vos infos
    Au fait, c'est quoi la bijection réciproque. La bijection, ça va encore, mais la bijection réciproque, comlprends pas!

  29. #24
    Sharp

    Re : petits problèmes sympathiques

    Rincevent, j'ai lu la page Internet. C'est expliqué rapidement, mais ça donne envie d'en savoir plus. C'est marrant, avec ln, les puisances sont transformées en coefficients.

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  31. #25
    Rincevent

    Re : petits problèmes sympathiques

    Citation Envoyé par Quinto
    (...)puisque comme le dit Rincevent (et quand il dit quelque chose on peut lui faire confiance...)


    euh, merci pour le compliment mais je n'en suis pas aussi certain que toi, bien au contraire...

    nul n'est à l'abri d'une erreur, même de frappe, non?

    ps: bijection réciproque ça veut juste dire que c'est l'inverse de la première fonction qui était une bijection: si tu composes ln et exponentielle tu as la fonction identité: ln(exp(x) = x

  32. #26
    Rincevent

    Re : petits problèmes sympathiques

    Citation Envoyé par Sharp
    C'est marrant, avec ln, les puisances sont transformées en coefficients.
    historiquement c'était justement le but premier de l'introduction des logarithmes il me semble: remplacer les multiplications par des additions

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