De quoi alimenter votre curiosité...:)

[invite1f029c1e]

Un compagnie minière possède deux puits d'un certain minerai. Le minerai est concassé puis rangé dans l'une des 3 qualités: riche, moyen ou pauvre. La compagnie s'est engagée à fournir à une fonderie 12T de riche, 8T de moyen et 24T de pauvre par semaine. L'exploitation du premier puits coute 200F par jour et celle du second, 160F par jour. En un jour, le premier puits produit 6T de riche, 2T de moyen et 4T de pauvre; le second puits 2T de riche, 2T de moyen et 12T de pauvre. Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus économiquement possible ?
Bonne chance,..
-----

[invite980a875f]

Il y a de quoi

[invite980a875f]

Je dois mal comprendre, car je ne trouve aucune solution possible:
est-ce que l'entreprise doit faire exactement les chiffres donnés, ou bien est-ce qu'elle peut les dépasser?
Si elle doit faire exactement, pour moi, c'est imposible:
dans ce cas, la mine 1 peut fonctionner 2 jours au max (pour ne pas dépasser les 12 riches). Si elle fonctionne 0 jour, la 2ème mine ne peut pas faire les bons chiffres toute seule. Si la 1ère fonctionne 1 jour, la 2è doit fonctionner 3 jours (pour arriver à 12 t de riche), auquel cas on n'a pas les bons chiffres pour le moyen et le pauvre. Si la première fonctionne deux jours, la deuxième ne doit pas fonctionner pour rester au bon quota de riche, et donc on n'a pas les bons chiffres pour les autres.
Je pense donc qu'on peut dépasser les chiffres.

[invite69dafe8b]

est ce qu'on dois faire des jours?
en d'autre terme : est ce que le nombre de jours appartien au Réel ou au Naturel?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f029c1e]

Tu peux dépasser un peu bien sûr, mais sachant qu'il faut être le plus économe possible

[invite1f029c1e]

Au naturels évidemment, enfin je suppose. Les jours négatifs, ca existe pas

[invite1f029c1e]

Quoique..travail avec les Réels (g pas bien compris ta question)

[invite69dafe8b]

bhen est ce que le nombre de jours dois etre 1,2,3,4j
oui bien est ce que ca peux etre 1.4J le puit A et 2.5J le puit B
a savoir respectivement
60H et 33H36min

[invite1f029c1e]

Je pense bien que oui, ca m'étonnerait si ca tombait juste

[invite80c94c09]

la production la plus importante c'est 12 T de pauvre dans le second puits
En faisant tourner le second puits 2 jours, on parvient à couvrir la demande de pauvre

Ces deux jours produisent 4 T de riche et 4 T de moyen
Donc il manque 8 T de riche et 4 T de moyen

Le premier puits en tournant 2 jours sort bien 4 T de moyen et 12 T de riche, largement suffisant..

Donc je fais tourner les puits
2 jours le premier soit 2 x 200 = 400
et 2 jours le 2me soit 2 x 160 = 320

Coût total : 720 euros

Qui dit mieux ??

Amitiés à tous

[invite980a875f]

Je pense bien que oui, ca m'étonnerait si ca tombait juste

Bon ben alors si on a le droit de mettre de demi jours, des quarts de jour, ça peut tomber juste!

[invite69dafe8b]

avec un ptit peu de C++ c'est tres vite fait
avec matlab ca marche aussi!

bool main()
{

float A1 = 6; float A2 = 2; float A3 = 4; float Ap = 200;
float B1 = 2; float B2 = 2; float B3 = 12; float Bp = 160;
float S1 = 12; float S2 = 8; float S3 = 24; float Sm = 6*Ap+6*Bp;

float best_x;
float best_y;

float x = 0;
float y = 0;

while (x<=6){
y=0;
while(y<=6){

if( (x*A1 + y*B1 >= S1) &&
(x*A2 + y*B2 >= S2) &&
(x*A3 + y*B3 >= S3) &&
(x*Ap + y*Bp <= Sm)){
Sm = x*Ap + y*Bp;
best_x = x;
best_y = y;
printf("%g : %g\t%g\n",x,y,Sm);
}
y+=0.1f;
}
x+=0.1f;
}

printf("___________________\n" );

x=best_x - 0.1f;
while (x<=best_x+0.1f){
y=best_y - 0.1f;
while(y<=best_y+0.1f){

if( (x*A1 + y*B1 >= S1) &&
(x*A2 + y*B2 >= S2) &&
(x*A3 + y*B3 >= S3) &&
(x*Ap + y*Bp <= Sm)){
Sm = x*Ap + y*Bp;
best_x = x;
best_y = y;
printf("%g : %g\t%g\n",x,y,Sm);
}
y+=0.00001f;
}
x+=0.00001f;
}

printf("X et Y optimal : %g : %g avec un cout de %g\n",best_x, best_y, Sm);

return true;
}


Et on trouve qu'il faut faire marcher le puits A pendant 1.00001 jours et le puis numéro B pendant 2.99999 jours, et on arrive a un cout total de 680€ au lieu des 740 de 'méditerannée'
la quantitée produite est donc de 12T de riche, 8T de moyen, et 40T de pauvre! Et si on veux la quantitée exacte, il sufffit de modifié un tt ptit peu le programme, et on se rend assez vite compte que ce systeme n'as pas de solution

de plus en échelonent la matrice du systeme (mis en ligne)
6 2 12
2 2 8
4 12 24

on trouve la matrice
1 1 6
0 1 8
0 1 12

et toutes ces lignes sont Linéerement indépendante, donc son rang est égal a 3! Ce qui est équivalent a un systeme sans solution (pour un systeme homogène)

CQFD

[shokin]

je dirais même mieux: 1 jour d'exploitation du premier puits et 3 jours d'exploitation du deuxième puits. J'ai alors produit 12T riche, 8T moyen et 40T pauvre, ce qui respecte l'engagement hebdomadaire convenu. Et ce qui ne coûte que 680 francs.

[shokin]

Je m'explique :

soit x le nombre de jours d'exploitation par semaine du puits 1
et y le nombre de jours d'exploitation par semaine du puits 2.

j'a donc l'engagement hebdomadaire sous forme de système d'inéquations :

6x++2y>=12
2x+2y>=8
4x+12y>=24

système d'inéquations que je simplifie :

3x++y>=6
x+y>=4
x+3y>=6

je résouds les systèmes d'équations suivants :

3x++y=6
x+y=4, où j'obtiens (x;y)=(1;3)

x+3y=6
3x++y=6, où j'obtiens (x;y)=(1.5;1.5)

x+y=4
x+3y=6, où j'obtiens (x;y)=(3;1)

j'ai donc la fonction d'exploitation minimale des deux puits :

y=f(x)=

6-3x quand x est élément de [0;1]
4-x quand x est élément de [1;3]
(6-x)/3 quand x est élément de [3;7] 7 étant le nombre de jours max par semaine.

Soit la fonction de coût d'exploitation des deux puits :

z=g(x;y)=200x+160y=

200x+160(6-3x) quand x est élément de [0;1]
200x+160(4-x) quand x est élément de [1;3]
200x+160((6-x)/3) quand x est élément de [3;7]

Sur ces trois intervalles, le minimum se trouve respectivement en :

(x;y;z)=(1;3;680), (x;y;z)=(1;3;680) et (x;y;z)=(3;1;760)

je choisis donc le z minimal, 680 francs. Il me faut donc chaque semaine exploiter 1 jour le puits 1 et 3 jours le puis 2.

Et dire que graphiquement, ça prend beaucoup moins de temps à expliquer tout ça.