aide

[invitea89b71bb]

ABCD est un tétraède. I est le point tel que le vacteur IA=2IB(vecteur) et J le point tel que le vecteur JC=2JD(vecteur)

Les pts I et J peuvent-ils étre confondus?

Je pense que non mais comment le prouver?

Merci d'avance
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[invite69dafe8b]

quand tu dis IA = 2IB(vecteur), tu veux dire que IA à la meme direction que IB et deux fois sa norme, ou bien que IA est deux fois plus grand en norme que IB?

[invitea89b71bb]

IA(vecteur)= 2 x (IB)(vecteur)

[invite69dafe8b]

I tq IA = 2IB
J tq JC = 2JD

IA -2IB = 0
IA +2BI = 0
BI + BI + IA = 0
BI + BA = 0 (charles)
BI = -BA = AB

JC = 2JD
JC + 2DJ = 0
DJ + DJ + JC = 0
DJ + DC = 0 (charles)
DJ = -DC = CD

on pose l'hypothese que I = J (démonstration par l'absurde)

donc on a :
AB = BJ
CD = DJ
(on peut déja notté que ces deux droites sont gauche, et que donc ce n'est pas possible)

mais on peut continué encore un peu
on a donc :

AB = BD + DJ
donc DJ = AB - BD
donc CD = AB - BD
CD + BD + BA = 0, ce qui est completement faux (évidement!)
et on montre donc bien que I est différent de J

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69dafe8b]

ca vous semble correcte?

[shokin]

lloicus,

ça me semble correct. En plus ça se voit facilement si on arrive à visualiser.

ou encore plus simplement : ABCD est une pyramide (plus précisément un tétraèdre), donc les quatres points ABCD sont distincts entre eux et non coplanaires et parmi eux, il n'existe pas trois points alignés.

Donc les droites (AB) et (CD) sont disjointes (elles n'ont aucun point commun) puisque A et B ne sont pas éléments de la droite (CD), respectivement C et D ne sont pas éléments de la droite (AB).

IA=2IB et JC=2JD

I, A et B sont donc trois points alignés, ainsi que respectivement J, C et D.

Donc I est élément de la droite (AB) et J est élément de (CD).

Comme (AB) et (CD) n'ont aucun point commun, tout point de de (AB) est distinct de tout point de (CD), donc I est distinct de J.

[invite980a875f]

J'ai l'impression qu vous vous compliquez la vie là quand même!
I se trouve sur (AB), et J sur (CD), et ces deux droites ne sont pas coplanaires, donc I et J ne peuvent pas être confondus, c'est tout.

[shokin]

sharp,

c'est vrai, ce que tu dis est vrai pour tout pyramide, tétraèdre ou non.

Si elles étaient coplanaires, nos quatres points détermineraient au plus une surface à quatre côté, mais une pyramide n'est pas qu'une simple surface, ça impose son volume.