E est-il un espace vectoriel

[theodutt]

Bonjour,

Je dois dire si E (ensemble des fonctions de R telles que f(3)= 7) est un espace vectoriel.

J’ai commencé par écrire lensemble comme ceci :




Cependant pour montrer que c’est un espace vectoriel je veux démontrer que les 8 axiomes sont bien respectés, mais je ne sais pas avec quoi les appliquer ? J’ai pensé à les vérifier pour f(x) puis pour f(3) mais cela me parait bizarre car si je le montre pour f(x) alors ça marcherait pour n’importe quelle fonction de R et pas que celles de notre ensemble.

Merci d’avance pour votre réponse !
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[albanxiii]

Bonjour,

Les éléments de E sont des fonctions, il faut donc utiliser des fonctions pour vérifier vos 8 axiomes.

Là il est assez facile de voir que E n'est pas stable par addition, et ça termine l'exercice.

[minushabens]

Commence par voir si le vecteur nul est dans E (je suppose que tu cherches en fait à savoir si E est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de R dans R muni des lois usuelles)

[theodutt]

Merci pour cette réponse, effectivement E n’est pas stable par addition et donc ce n’est pas un sous ensemble vectoriel de R et donc pas un espace vectoriel, cependant en utilisant les 8 axiomes de l’espace vectoriel je ne vois pas au(x)-quel(s) l’ensemble E ne répond pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[theodutt]

Oui il s’agit des opérations usuelles (+ et x).

Par contre le vecteur nul peut être dans E car on sait seulement que f(3)=7 mais on ne sait pas si f(0)= 0

[minushabens]

Il y a beaucoup de fonctions f telles que f(0)=0 mais il n'y a qu'un unique vecteur nul.

[theodutt]

Comment savoir s’il est dans cet ensemble alors ?

[minushabens]

Essaie de le caractériser.

[theodutt]

C’est l’élément neutre de l’audition

[minushabens]

addition...

ok, donc si f est cet élément, il vérifie, pour toute fonction g, f+g=g. Maintenant explicite cette égalité et tu trouveras ce qu'est f.

[Anonyme007]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, l'espace : est un sous espace affine de l'espace affine : dont le vectorialisé est lui meme, et donc, , en fait, n'est pas un sous espace vectoriel.

Le vectorialisé de est à mon avis, le sous espace vectoriel : , non ? A vérifier.

Cordialement.

[theodutt]

Le vecteur nul correspond à la fonction nulle or comme pour toutes fonctions de E, f(3)=7 donc forcément la fonction nulle ne fait pas partie de E.

Ok je comprends mieux merci !

Juste une dernière question, si on voulait démontrer que ce n’est pas un espace vectoriel avec les 8 axiomes, on aurait bloqué sur le deuxième qui est de trouver un élément neutre dans E ?

[minushabens]

Oui, et aussi un élément de E n'a pas d'inverse pour l'addition, l'addition de deux élements de E n'est pas dans E, et pour finir le produit d'un élément de E par un scalaire différent de 1 n'est pas dans E.

[gg0]

Attention, Theodutt,

avant les 8 axiomes, il y a le fait que la loi interne existe (ce n'est pas parce qu'on la note qu'elle est une LCI), en particulier qu'elle est bien interne - ce n'est pas le cas ici- et idem pour la loi externe - ce n'est pas non plus le cas -
Il y a en fait 10 choses à vérifier.

Cordialement.

[Tryss2]

Par contre le vecteur nul peut être dans E car on sait seulement que f(3)=7 mais on ne sait pas si f(0)= 0

Non !

Ici, les vecteurs sont des fonctions, et le vecteur nul est donc la fonction nulle. Et la fonction nulle ne vérifie pas f(3) = 7 (puisque si f est la fonction nulle, f(3) = 0)