Image directe/réciproque

[mehdi_128]

Bonsoir,

Je vais peut être poser une question bête mais ça me tracasse étant donné qu'on utilise souvent ce raisonnement dans les démos.





Comment on obtient ces implications ?

Merci.
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[Merlin95]

Ce ne sont que des propositions exprimant les définitions de l'image d'un ensemble, et de l'ensemble de départ d'un ensemble d'arrivée, suivant une fonction f.

Fait un dessin avec une fonction simple et des intervalles I de départ et J d'arrivée pour comprendre ce que signifie f(U) et f^-1(V).

[Anonyme007]

Bonsoir,

Pour la première implication, tu utilises le fait que :

- .

Pour la seconde implication, tu utilises le fait que

- .

Cordialement.

[Anonyme007]

Je te conseille de garder en tête les deux formules suivantes :

-
-

car tu les utiliseras en permanent en cours de topologie niveau : L3.

Il y'a une jolie généralisation de ces deux formules en théorie des faisceaux que tu verras plutard si tu suivras un cours de théorie des schémas en M1/M2.

Il s'agit des deux transformations naturelles suivantes :




Le premier : est le foncteur unité
Le deuxième : est le foncteur co-unité

et on a l'adjonction suivante si on est dans la catégorie des faisceaux :



Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

C'est plus simple, cela découle que des définitions de l'image réciproque d'un ensemble :

f^-1(U) est exactement l'ensemble des x tels que f(x) appartient à U.

ca signifie que si x un élément de cet ensemble, alors forcément f(x) appartient à U.

De même si f(x) appartient à U alors par définition x appartient à f-¹(U).

En gros ca signifie que f^-1(U) ne contient (que) les x tels que f(x) appartient à U.

[Merlin95]

@Anonyme007, je comprends pas pourquoi vous compliquez inutilement la chose.

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Je te conseille de garder en tête les deux formules suivantes :
-

Il me semble que si U est un sous-ensemble de l'ensemble de définition de la fonction f, alors

[Anonyme007]

C'est plus simple, cela découle que des définitions de l'image réciproque d'un ensemble :

f^-1(U) est exactement l'ensemble des x tels que f(x) appartient à U.

ca signifie que si x un élément de cet ensemble, alors forcément f(x) appartient à U.

De même si f(x) appartient à U alors par définition x appartient à f-¹(U).

En gros ca signifie que f^-1(U) ne contient (que) les x tels que f(x) appartient à U.

Oui, tu as raison, je n'ai pas dit non.

[Anonyme007]

Par définition : .
Tu peux aussi utiliser mon argument plus haut si tu voudrais être un peu rigoureux. Mais, ça revient au meme. C'est tautologique.

[mehdi_128]

C'est plus simple, cela découle que des définitions de l'image réciproque d'un ensemble :

f^-1(U) est exactement l'ensemble des x tels que f(x) appartient à U.

ca signifie que si x un élément de cet ensemble, alors forcément f(x) appartient à U.

De même si f(x) appartient à U alors par définition x appartient à f-¹(U).

En gros ca signifie que f^-1(U) ne contient (que) les x tels que f(x) appartient à U.

Merci Merlin tout ça juste avec la définition de f-¹(U)

C'était rapide !

Anonyme : votre solution est surement bonne mais je suis en quête de simplicité car je suis pas un génie des maths