Image directe d'une fonction

[moundir56]

Bonjour,

il est demandé dans un exercice de calculer les deux images directes de la fonction suivante dans R:



et sans recourir à l'étude de variation de la fonction, calculer les images directes des 2 intervalles : et


ainsi on a et

après vérification avec le graphique de la fonction, l'image de est correcte,

par contre celle de est plutôt

y a t il un procédé pour calculer algébriquement l'image directe d'un intervalle sans l'aide ni de la dérivée ni d'un graphique ?


merci pour l'aide


cordialement
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[Médiat]

Bonjour,

En tout état de cause

[PlaneteF]

Bonjour,

il est demandé dans un exercice de calculer les deux images directes de la fonction suivante dans R:



et sans recourir à l'étude de variation de la fonction, calculer les images directes des 2 intervalles : et

ainsi on a et

Non, car d'une manière générale ne vaut pas comme tu le fais.


Cordialement

[Médiat]

Pour illustrer la réponse de PlaneteF, il suffit de prendre la fonction f(x) = (x² - 1) sur l'intervalle [-1, 1].

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Moundir56.

Tout d'abord, il ne faut pas confondre "image directe par une fonction" (qui est ton sujet) avec "image directe d'une fonction" qui nécessite de savoir par quelle autre fonction on fait cette image.

Ensuite il n'existe pas de méthode générale pour obtenir l'image d'un sous ensemble de l'ensemble de départ par une fonction. On peut penser :
* A lister tous les éléments de l'ensemble et donc leurs images
* pour une fonction numérique, aux règles sur les inégalités.
* A décomposer la fonction en composée de fonctions simples
et j'en oublie.

Pour ton cas, la première méthode étant inutilisable, les deux autres fonctionnent peut-être.

Cordialement.

[moundir56]

merci pour vos réponses

j'ai essayé de suivre la proposition de gg0 (utilisation des inégalités)

j'ai pris l'intervalle qui pose problème à savoir et d'encadrer la fonction

d'abord prendre la partie "négative"

soit : et d'où

soit

pour la partie positive:

soit : et d'où

soit


et comme

on a :

intervalle qui est plus large que celui déduit graphiquement :


la bonne méthode c'est peut être utiliser (mais sans le dire!) la représentation graphique de la fonction


cordialement

[gg0]

C'est effectivement très délicat d'obtenir par manipulation d'inégalités l'image.
Surtout quand on ne calcule pas correctement. Par exemple, ton 2x³ n'est pas correctement encadré au départ. Bizarrement tu tombes sur le bon résultat ensuite !

Ça marche sur [-1;0] car les deux fonctions que tu ajoutes ont le même sens de variation, donc les évolutions vont dans le même sens. Ce n'est plus le cas sur [0;1], ce qui fait que l'addition donne un intervalle trop large (quand une fonction est au minimum, l'autre est maximale, mais on additionne les minimums).
Il faut alors trouver une méthode plus efficace.

Cet exercice est délicat, et montre l'intérêt d'une étude des variations.

Cordialement.

[moundir56]

oui erreur de frappe pour le 1er encadrement uniquement

merci en tous cas gg0 pour l’intérêt et surtout de me confirmer que l'étude de variation est certainement le seul moyen de répondre correctement à cette question.


cordialement