Exercice Récurrence

[invite7dc6522d]

Bonjour je suis perdu pour la resolution d'une récurrence

Il s'agit d'une somme qui est la suivante: 1²;2²-1²;3²-2²+1²;4²-3²+2²-1²;...

Le professeur nous à aider en donnant les formule suivante ∑(allant de k=1 à n) k = ((n(n+1))/2

Et Sn =∑(allant de k=1 à n) k² * (-1)^n+k

Merci pour votre aide en esperant que les éléments soient compréhensible
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[invite7dc6522d]

La raison de ma demande est le fait que je ne sais pas comment exploiter les données qu'il nous as apporté

[jacknicklaus]

si n est pair, n = 2p, et vous pouvez écrire un terme Un sous la forme
(2² - 1²) + (4² - 3²) + ... + (n² - (n-1)²)
= (2x2 -1) + (2x4 - 1) + ... + (2n -1) où les termes k de forme (2k-1) s’incrémentent par 2


je vous laisse poursuivre. vous trouverez un terme en 4[1+2+..p] où vous utiliserez l'indication du professeur.

[invite7dc6522d]

Merci de l'aide mais j'avou ne pas comprendre le "si n est pair , n=2p " qu'est ce que p
et ensuite comment poursuivre afin de trouver les formule du professeur

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Merci de l'aide mais j'avou ne pas comprendre le "si n est pair , n=2p " qu'est ce que p

n = 2P signifie que p = n/2 (avec l'hypothèse n pair)
Si vous ne voyez toujours pas je vous invite à écrire quelques termes pairs (U2 U4 U6 U8) sous la forme

U2 = (2² - 1²) = 2.2 - 1 = 4.1 - 1
U4 = (2² - 1²) + (4² - 3²) = (2.2 - 1) + (2.4 - 1) = 2.2 + 2.4 - 2 = 4(1+2) - 2
U6 = (2² - 1²) + (4² - 3²) + (6² - 5²) = (2.2 - 1) + (2.4 - 1) + (2.6 - 1) = 2.2 + 2.4 + 2.6 - 3 = 4(1+2+3) - 3
etc..
vous voyez le truc ?


faire la même chose pour le cas n impar.

[invite7dc6522d]

merci encore j'ai compris pour n pair mais pour n impair je penses voir la demarche à suivre une fois la suite pour n pair et impair fait par quel cheminement j'arrive au somme du professeur , la recurrence en soit je sais faire mais pour y arriver je n'en ai aucune idée
J'ai vraiment besoin d'aide Merci

[jacknicklaus]

merci encore j'ai compris pour n pair mais pour n impair je penses voir la demarche à suivre

Dans ce cas, montrez nous ce que vous avez fait. Car pour l'instant on ne vous voit guère participer à cet exercice à part vous plaindre que vous avez besoin d'aide.

- quelle est est la valeur numérique de U(2018) ?
- Quelle est l'expression de U(n) pour n pair ?
- et pour n impair ?

par quel cheminement j'arrive au somme du professeure

Vous vous bloquez sur la "somme de votre professeur" qui apparaît pourtant de manière transparente dans mon post #5, si vous l'avez bien lu et compris....

[invite7dc6522d]

Si je suis vos question

U 2018 serait = (2^2-1^2)+(4^2-3^2)+...+(2018^2-2017^2)

pour Un avec n pair = (n^2-(n-1)^2)

pour Un avec n impair= (n^2-(n-1)^2) aussi juste que cela comme pour U1, U3 ,..., U321

j'essaye de comprendre mais pourquoi separer les n pair des n impair?
Merci de l'aide

[jacknicklaus]

U 2018 serait = (2^2-1^2)+(4^2-3^2)+...+(2018^2-2017^2)

OK, bon vous n'avez pas encore pigé le truc.
regardez attentivement ce que j'ai déjà écris post 5 , et notamment ce que je met en gras ici :

U2 = (2² - 1²) = 2.2 - 1 = 4.1 - 1
U4 = (2² - 1²) + (4² - 3²) = (2.2 - 1) + (2.4 - 1) = 2.2 + 2.4 - 2 = 4(1+2) - 2
U6 = (2² - 1²) + (4² - 3²) + (6² - 5²) = (2.2 - 1) + (2.4 - 1) + (2.6 - 1) = 2.2 + 2.4 + 2.6 - 3 = 4(1+2+3) - 3

Appliquez à U2018.
Ensuite utilisez la formule de votre professeur pour calculer un terme de la forme 1+2+3+4+5+ ... (quel est le denier chiffre de cette somme ?)
a ce stade vous comprendrez facilement pourquoi on regarde n pair.
ca vous donne U2018

Et pour le même prix la valeur de U(n) pour n pair. Attention, à ce stade c'est juste l'idée. Une petite récurrence toute simple pour le prouver et c'est fini.
il existe une relation évidente entre U(n-1) et U(n). Donc quand vous aurez trouvé U(n pair) vous aurez aussi trouvé, sans calcul, U(n impair)

[invite7dc6522d]

Merci de votre aide je vais essayer de suivre les indications que vous m'avez donnés