Mesure Intégration

[invite288bf54b]

Bonjour

j'ai un exercice mais je ne comprend pas la première question

1) Montrer que pour tout entier , l'intégrale a un sens.

2) Calculer les intégrales , , et

3) On Calcule l'intégrale de deux façons, par partie et par changement de variable.

a) Trouver pour tout entier une relation de récurrence simple entre et .

b) Calculer alors pour tout entier l'intégrale .

c) Montrer que pour tout , l'intégrale:


j'aime pas trop répondre aux autres questions sans commencer par la première question

si c'est possible que quelqu'un me guide pour la première question

s'il vous plait
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[invite6710ed20]

Bonjour
Log[t] tens vers -infini quant t tend vers 0. Tu as donc une intégrale généralisée. Dire qu'elle a un sens revient à dire est-ce que l'intégrale est convergente.
Pour k=0 il n'y a pas de problème.
A ta place j' essaierai de répondre à la question pour k= puis k=2 avant de répondre au cas général.

[invite51d17075]

bjr , la démarche est très louable.
il est clair que la question initiale est liée au comportement de ln(x) en 0.
en revanche , l'expression "a un sens" m'est un peu étrangère alors j'espère ne pas dire de bêtise.
je propose d'écrire

Et chacune de ces suites est clairement définie.
En espérant que cela soit suffisant.
Cdt

[invite51d17075]

Edit : pas vu le message de JB sur la nécessité d'une preuve de convergence. ( est ce la bonne interprétation ? )
Si c'est le cas on peut proposer une intégration par partie

le premier terme étant nul , par récurrence, ( en simplifiant le second ) l'intégrale reste convergente.
mais c'est déjà répondre aux questions qui suivent …….
donc perplexe , je suis par rapport à la première question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite288bf54b]

donc tu veux dire de répondre d'abord à la question 2) avant la question 1)

-Pour on a:



-pour on a:



et pour



donc converge donc f est continue sur R et la limite existe .....??????

.......

[invite51d17075]

donc tu veux dire de répondre d'abord à la question 2) avant la question 1)

pas exactement, car le terme "a un sens" n'est pas clair pour moi, d'autant qu'il faudrait selon JB commencer à répondre aux questions suivantes ( c-a-d faire un calcul ).
je doute de cette voie.
ceci dit , tu as fait une erreur.
I1=-1 , pas 0 !
et de surcroit Ik ne converge pas ( en fct de k ) , puisqu'elle devient si tu regardes bien un factoriel k ( avec un facteur (-1)^k )

[invite288bf54b]

ah d'accord merci bcp

[invite51d17075]

Donc, honnêtement je ne sais comment répondre à la première question.
Et je doute fort qu'il soit nécessaire de faire l'exercice pour y revenir.
d'où ma première proposition de réponse à celle-ci , sous toute réserve .

[invite288bf54b]

donc si je répond a la question 3.a) je dois faire une récurrence ?

[invite288bf54b]

si oui je suppose que c'est vrai au rang k et je montre au rang n-1 ou je dois faire le contraire ? je commence a me perdre .....

[invite51d17075]

pour simplifier, le "sens" que je préfère lui donner ( dans la première question ) est celui d'une limite d'intégrales calculables ( c-a-d sans bornes avec indétermination ) , sans rentrer dans les calculs.

mais par ailleurs, je t'ai donné tous les indices pour les questions suivantes.

[invite51d17075]

si oui je suppose que c'est vrai au rang k et je montre au rang n-1 ou je dois faire le contraire ? je commence a me perdre .....

si tu choisis cette voie tu montres que peut se déduire de
donc par récurrence de , qui est évidente.
je ne vois pas ce qui pose pb.
mais encore une fois , cela revient à faire l'exercice avant de répondre à la première question, ce que je trouve "incongru", pour ma part.

je parle bien de la réponse à la première question, pas à la résolution de l'exercice.

[albanxiii]

Bonjour ansset,

pas exactement, car le terme "a un sens" n'est pas clair pour moi,

Comme vous le pensez, montrer que l'expression de a un sens, c'est montrer que l'intégrale est convergente. On peut alors se passer du signe dans son écriture par la suite (bien que votre message #3 soit correct également).

[invite23cdddab]

De façon générale, quand on pose la question "est ce que I = XXX a un sens ?", on demande "est-ce que l'écriture XXX est un objet bien défini"

Par exemple, n'est pas un objet bien défini (du moins, dans les théories usuelles de l'intégration), écrire n'a donc pas de sens.

[invite6710ed20]

ReBonjour
Le problème pour est le comportement de en x=0.
Pour éviter la négativité quand k est impair on va s'intéresser à l'intégrabilité de |Log(x)|^k.
Le problème de l'intégrabilité vient de la borne x=0. Pour cela on remarque que
tend vers 0 quand x tend vers 0. Autrement dit
Mais alors, puisque est convergente alors on en déduit que
ce qui revient encore à dire que l'intégrale est (absolument) convergente.
On répond aini à la question 1. sans se préoccuper des questions suivantes (que je n'ai pas encore regardé)

Si j'ai dit de regarder l'existence de I_1, I_2 c'est pas pour chercher un calcul explicite mais uniquement de voir pourquoi les intégrales sont bien convergentes.

[invite51d17075]

bien vu,
je cherchais aussi une convergence "directe" !

[invite51d17075]

re-
pour éviter un malentendu, cela ne signifie pas que ( message à l'attention de lolo, pas de JB ou des autres)
, cela n'est vrai que pour la fonction à intégrer au voisinage de 0.
( message à l'attention de lolo, pas de JB )
l'écrire proprement serait peut être de décomposer


ps: je ne sais pas faire les "petit 0".

[invite51d17075]

Comme vous le pensez, montrer que l'expression de a un sens, c'est montrer que l'intégrale est convergente.

sur de ça ?
instinctivement, j'aurai dit qu'elle a du sens si elle est calculable, pas forcement convergente ( au sens d'une convergence fini )
je cherche juste à être "propre" dans mes propos.

[invite6710ed20]

Bonjour
Perso j'ai dû mal à lire les réponses, seule une partie s'affiche (les 2 ou 3 première ligne). Est ce que quelqu'un a le même problème?

[invite6710ed20]

Bon mon pb résolu, ne pas tenir compte de mon message précédent.