Equat. Diff lineaire ordre 1

[Inkald]

Bonjour,

Je suis actuellement en Licence 2 de biochimie et nous avons vu les équations différentielles d'ordre 1.

Mettons une équation de type :

y'(x)+a(x)y(x)=b(x) (E)

Au moment de la recherche d'une solution particulière, j'ai l'habitude d'utiliser la forme (uv)'=u'v + uv' puis d'injecter dans (E) et déterminer c(x).

Le problème étant que la prof utilise l'intégration par partie... je ne comprend pas comment l'utiliser et à quel moment l'utiliser ?

J'ai essayé de faire un exercice vu en TD avec la méthode de (uv)' mais je suis bloqué à un certain moment... est-ce parcequ'il faut absolument utiliser l'intégration par partie ?

Merci pour ceux qui pourront me répondre
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[JB2017]

Bonjour
tu poses une question générale ou bien tu as une équation (en tête) de cette forme là à résoudre mais que tu ne donnes pas.
Autrement dit pour bien répondre à ta question je préfère y répondre sur un problème précis car tout dépend de a(x) et de b(x)

[Inkald]

Alors alors... d'après mon TD :

ce que j'ai fais :

Soit l'EDL1 (E), y'(t) = (-1/2)y(t) + t -1/2

L'équation homogène associée est (H) y'(t) = (-1/2)y(t)
On a donc une solution homogène Sh = {c.e^(-1/2)t avec c e R}

On cherche une solution particulière y_o = c(t)e^(-1/2)t . On dérive y_{o :} est sous la forme (uv) donc (uv)' = u'v + uv' soit,
y'o = c'(t)e^(-1/2)t + c(t)(-1/2)e^(-1/2)t

On reporte dans (E) ce qui, après simplification nous donne :
c'(t)e(-1/2)t = t-(1/2)
c'(t) = t-1/2)e^(1/2)t

On a une primitive de la forme c(t) = (t²/2)- e^(1/2)t

Ce que la prof a fait :

Trouver c(t) sachant que a(t) = -1/2 et b(t) = t-1/2)

c(t) = b(t)e^-A(t)dt + µ

où µ = une constante

c(t) = (t-1/2)e^(1/2)t dt + µ

On identifie u = t-1/2 et u' = 1 : v' = e^(1/2)t et v' = 2e^(1/2)t

Sachant que (uv)' = uv - u'v
On a (t-1/2)e(1/2)t = 2(t-1/2)e^(1/2)t - 2e^(1/2)t
= (2t-1)e(1/2)t - 4e(1/2)t + µ

c(t) = (2t-5)e(1/2)t + µ


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Voilà voilà, il m'a fallut du temps pour tapper tout ça

Je ne trouve donc pas pareil que ma prof, je ne comprends même pas son raisonnement, pour le coup j'ai recopié le TD comme un robot, sans prendre le temps de comprendre...

[JB2017]

Bon
Je vais faire plusieurs remarques.
1. Ce que tu fais c'est la "variation de la constante" et c'est bon pour c'(t) sauf que tu te trompes dans le calcul de la primitive.
2. Ce que ta prof à fait: elle applique une formule toute faite (qui vient ni plus ni moins que de la variation de la constante).
Ensuite elle est amenée à cacluler une primitive qui est la même que la tienne. Mais là son calcul est bon.
3. Commentaire sur 1 et 2. Et bien il faut faire 1. (comme tu as fait, appliquer une formule toute faite ça ne sert à rien).
4. Maintenant c'est un peu ballot d'appliquer ici la méthode de la variation de la constante. En effet c'est une méthode générale, mais dans la pratique
on a un second membre "relativement gentil" qui fait que l'on peut deviner la forme d'une solution particulière.

C'est le cas ici. Le second membre est un polynôme de degré 1 donc on peut imaginer qu'il va yavoir une solution particulière de degré 1.
Donc cherchons une solution de la forme y(t)=at+b.
On remplace dans l'équation et des calculs très faciles (plus simple que de calculer la primitive) donne a= 2 et b=-5.
D'où la solution générale y(t)= c exp(-t/2)+ 2 t -5

[A voir en vidéo sur Futura]

[Inkald]

J'ai aussi fait la variation de la constante la méthode "à la main" dit-on. Je me suis peut être trompé sur la primitive, c'est fort probable, mais je ne comprends pas ton raisonnement non plus. Je ne fais pas parti des génies en maths

[JB2017]

Tu veux dire quoi mon raisonnement la recherche d'une solution particulière sous la forme d'un polynome?
tu cherche y'(t)+1/2y(t)=t-1/2.
Le second membre est un polynôme de degré 1.
Si à la place de y(t) tu mets un polynôme , y'(t) étant encore un polynôme alors y'(t)+1/2y(t) est encore un polynôme.
En réfléchissant un peu plus on peut mettre pour y(t) un polynôme de degré. Donc tu cherche une solution de la forme y(t)=at+b
tu remplace et tu trouve une solution.c'est tout.

[Inkald]

... je dois faire parti de ceux qui ont besoin d’une démonstration pour comprendre ... ça te dérangerait de me montrer avec l’équation ?