Bornes supérieures et inférieurs

[invite50a0e7c1]

Soit la fonction f R==> R définie par f(x) = x3 + x - 1 . On considère les ensembles A= [a⋳Q/ f(a)<0] et B=[b⋳Q/ f(b)>0]

1- Montrer que quelque soit a⋳A et b⋳B , on a a<b
Soit a⋳A donc f(a)<0 et b⋳B donc -f(b)<0
Alors f(a)-f(b)<0 d'ou f(a)<f(bà
Puisque f est strictement croissante car f'(x) = 3x^2 +1 > 0

donc f(a)<f(b) ===> a<b

2- Justifier que supA et supB existent et montrer que 0<supA<infB<1

Soit a⋳ A , puique b>a donc a est un minorant de B
Alors infB >a
d'ou infB est un majorant de A
et on a a<b donc b est un majorant de A alors A est majorée
on déduit donc des deux expresions précédentes que supA<infB (je me bloque pour supA>0 et inf B <1)
3- Montrer que f(supA)≤0 et f(infB) ≥0
-----

[invite51d17075]

on déduit donc des deux expresions précédentes que supA<infB (je me bloque pour supA>0 et inf B <1)

f(0)=-1 et f est continue et strictement croissante. donc .....?
idem à l'inverse pour inf B ( f(1)=1 )

[gg0]

Bonjour.

"je [me](*) bloque pour supA>0 et inf B <1" Regarde à quel ensemble appartient 0. Idem pour 1.

Pour la 3, de nombreuses façons existent, mais les plus simples utilisent la continuité de f et la caractérisation de sup et inf par les limites.

Cordialement.


(*) si tu écris "me", tu dis que c'est toi qui as décidé de te bloquer. J'imagine que tu ne le fais pas exprès, donc la formulation correcte est "je suis bloqué", ou, par raccourci, "je bloque".

[invite51d17075]

en plus simple tu peux aussi bêtement calculer f(0,1) et f(0,9)
ce qui a valeur de contre exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50a0e7c1]

0⋳ A , mais je nevois toujours pas comment supA>0

[gg0]

Reviens à la définition de A et montre que 0 est dans A.

Quand même, tu ne fais pas grand chose toi-même !
Ne te contente pas de mettre tes deux énoncés et d'attendre qu'on fasse ton travail.

[invite50a0e7c1]

Je sais démontrer que 0⋳ A: f(0)=-1<0 et puisque A= [a⋳Q/ f(a)<0] d'ou a=0⋳A , mais je nevois pas la relation entre ca et l'inégalité

[gg0]

Tu galèges !! Tu ne vois pas le rapport entre un élément de A et sup A ?????

Je crois que tu es vraiment très fatigué, va dormir, puis reprends ton exercice avec l'esprit clair.

[invite50a0e7c1]

Merci pour rien

[invite51d17075]

Je sais démontrer que 0⋳ A: f(0)=-1<0 et puisque A= [a⋳Q/ f(a)<0] d'ou a=0⋳A , mais je nevois pas la relation entre ca et l'inégalité

Merci pour rien

m'enfin, je comprend la réaction de gg0.
à croire que tu ne saisi pas la définition du "sup" d'un ensemble.
1) s'il existe x >0 et f(x)<0 alors x app à A , et donc sup(A)>=x >0
tu as au moins 4 manières de faire.
- par un coup de marteau ( solution bourrine mais efficace )
f(0,1)=(0,1)³+(0,1)-1 < 0 ; 0,1 app à A et est >0 donc 1) s'applique.
- plus analytiquement ( c'est plus élégant ) par la continuité et croissance de ta fonction
f(0)=-1 , que se passe-t-il au voisinage 0 avec x>0 ? ( je te laisse formaliser avec la définition de la continuité )
- par le théorème des valeurs intermédiaires:
f(0)=-1 , f(1)=1 , donc ( comme la fonction est continue ) pour tout y , -1<y<1 il existe x tel que f(x)=y
donc c'est vrai pour y=0.