Exercices - logique

[Slaker]

Bonjour,

J'ai deux exercices à résoudre mais j'ai un doute sur la manière que j'ai de les résoudre, qui me semble particulièrement simple (ils sont censés être difficiles d'après le prof).



EXERCICE 1

Soit f une fonction de R dans R.
Montrer que : f strictement croissante => pour tout (x;y) appartenant à R², f(x)=f(y) => x=y.

Pour démontrer cela j'ai eu comme idée d'utiliser la contraposée. Ce qui donne à démontrer :

Il existe (x;y) appartenant à R² tel que f(x)=f(y) et x=/=y => f décroissante.

Du coup je prends un couple (x;y) appartenant à R² tel que f(x)=f(y) et x=/=y.

Si x=/=y, on peut définir .

De même, f(x)=f(y) <=> .

On retrouve ici la définition d'une fonction décroissante : cqfd.


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EXERCICE 2

Montrer que pour tout e > 0, il existe a > 0 tel que |x - 7/5|< a => |5x - 7| < e.

Je pars tout simplement de l'inégalité :

|x - 7/5|< a

<=> |5|*|x - 7/5|< |5| a

<=> |5x - 7| < 5a

En posant 5a=e

<=> |5x - 7| < e cqfd


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Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Pour ton exercice 1, tu peux effectivement essayer d'utiliser la contraposée, mais le contraire de "croissante" n'est en rien "décroissante". la fonction x-->x² n'est pas strictement croissante; mais pas plus décroissante.
Et tu t'embêtes pour rien. Pour démontrer une implication, on prend comme hypothèse le terme de début, et on démontre la conclusion. Donc ici, on suppose f strictement croissante. Puis on essaie de démontrer "pour tout (x;y) appartenant à R², f(x)=f(y) => x=y." On peut le faire par contraposition, mais aussi simplement directement, en supposant f(x)=f(y) et en examinant les trois cas possibles sur x et y : x<y, ...

Cordialement.

NB : Tu ne risques pas de démontrer "Il existe (x;y) appartenant à R² tel que f(x)=f(y) et x=/=y => f décroissante." la fonction x-->x² que j'ai déjà citée est un contre exemple, 1²=(-1)² .

[gg0]

Pour l'exercice 2, tu n'as pas fait ce qui est demandé, puisque tu as utilisé a (dont il faut prouver l'existence) pour "trouver" e qui n'est pas à ta disposition ("quel que soit e").
A reprendre pour trouver le a qui convient quand quelqu'un te donne le e.

[Slaker]

Très bien merci beaucoup pour cette aide, je vais retravailler ça !

[A voir en vidéo sur Futura]