comparaison d'indices, algèbre

[sleinininono]

Bonsoir,

pourriez vous m'aider à résoudre un problème de théorie des groupes? je n'arrive pas à trouver une solution à ce probleme :

On prend G un groupe.
H et K ss groupe de G;
K est d'indice fini dans G.

J'aimerais montrer que [ H : H inter K ] <= [G : K]

J'avais pensé à poser une application injective entre les deux ensembles. En me balladant sur les pages wikipédias des indices j'avais trouvé cette fonction :

h H inter K dans h K . Si je prouve qu'elle est injective, alors | H / H inter K | <= | G / K |

Qu'est ce que vous en pensez ? Si c'est juste, comment prouver l'injectivité ? je ne suis pas sûr que de montrer que f(x) = f(y) implique x = y est suffisant ... j'écoute vos conseils

merci
-----

[gg0]

Bonjour.

comment prouver l'injectivité ? je ne suis pas sûr que de montrer que f(x) = f(y) implique x = y est suffisant

Heu ... tu devrais relire un cours de base sur les fonctions, et l'injectivité. Ça pourrait te servir, les notions d'injectivité et de surjectivité sont très utilisées en algèbre, on doit savoir les propriétés de base (ici la définition, éventuellement contraposée).

NB : Tu peux trouver facilement la réponse à cette question sur Internet, pourquoi la poser ici ???

[sleinininono]

gg0, évidemment que je sais ce que c'est l'injectivité, cela fait déjà quelques années que je fais des maths.
Néanmoins, l’algèbre est une matière très obscure pour moi et c'est pour ça que je viens vous demander de l'aide, autant pour être rassuré, que pour voir si je n'ai pas raté quelque chose.

Là en l’occurrence je ne suis pas du tout convaincu par mon travail, c'est pour cela que je viens partager mon travail et avoir votre avis

[gg0]

Je ne connais pas assez le domaine et ses notations pour pouvoir juger, je réagissais seulement à ta remarque sur ta non connaissance sérieuse de la définition de l'injectivité :
"comment prouver l'injectivité ? je ne suis pas sûr que de montrer que f(x) = f(y) implique x = y est suffisant"
et pourtant tu dis
"évidemment que je sais ce que c'est l'injectivité" Si tu sais, tu ne t'interroges pas, tu ne demandes pas aux autres. En cas de doute, tu relis la définition (36400 réponses avec gogol)

Tu n'as pas l'air non plus de connaître la notion d'injection canonique !!!

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bonjour

Bonsoir,

pourriez vous m'aider à résoudre un problème de théorie des groupes? je n'arrive pas à trouver une solution à ce probleme :

On prend G un groupe.
H et K ss groupe de G;
K est d'indice fini dans G.

J'aimerais montrer que [ H : H inter K ] <= [G : K]

J'avais pensé à poser une application injective entre les deux ensembles. En me balladant sur les pages wikipédias des indices j'avais trouvé cette fonction :

h H inter K dans h K . Si je prouve qu'elle est injective, alors | H / H inter K | <= | G / K |

Qu'est ce que vous en pensez ? Si c'est juste, comment prouver l'injectivité ? je ne suis pas sûr que de montrer que f(x) = f(y) implique x = y est suffisant ... j'écoute vos conseils

merci

je ne saisi pas non plus tes notations :
[ H : H inter K ] <= [G : K] ? par rapport à
| H / H inter K | <= | G / K |
l à moins que ce soit la même expression écrite différemment ????
ensuite quelle est ta fonction
h H inter K dans h K ?
désolé , mais c'est peu compréhensible pour moi.

concernant la définition de l'injectivité ( même remarque que gg0 )
Cdt

[ansset]

OK, j'ai compris toutes tes notations.

Oublie le mess précédent.
effectivement cela ressemble aux indications sur les indices données ici.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Indice...le_des_indices
mais trop peu compétent pour utiliser proprement le fait que K soit d'indice fini.

[eudea-panjclinne]

h H inter K dans h K . Si je prouve qu'elle est injective, alors | H / H inter K | <= | G / K |

C'est ça !
Il faut montrer que la relation F : H/HinterK ---->G/K est une application et quelle est injective.
F: hHinterK--------->hK. avec h dans H
On parle ici de classes à gauche, puisque les groupes ne sont pas forcément commutatifs.

[sleinininono]

oui c'est ça ! c'est ici que j'avais lu cette indication

mais ici, l'application F n'est pas une injection canonique, si ?


Donc excusez moi, mais vous serait il possible de m'écrire les points importants à démontrer dans la démonstration ? Du style comme vous avez dit "montrer que c'est une application, et injective". J'aimerais éviter de sauter des étapes importantes.
Par ailleurs, qu'est ce que cela signifie que de montrer que c'est une application? (j'ai toujours des doutes sur cette étape )



Enfin, moi je ne suis pas du tout convaincu par cette application. J'entends que si je devais montrer que
| H | <= | G |
c'est démontrable car H est un sous groupe de G
ensuite si je devais montrer :
| H / K | <= | G / K |
pareil, en passant par une étape supplémentaire qu'est la surjection canonique.
Mais ici :
| H / H inter K | <= | G / K |
c'est pour moi comme comparer des patates et des carottes ! Je suis un peu confus...

[gg0]

Effectivement, avec les explications de Eudea-panjcline, et des notations moins aléatoire, je vois que ce n'est pas une injection canonique. Tes notations illisibles m'ont envoyé sur une autre interprétation.
Je note encore une méconnaissance de définition, cette fois-ci celle d'application (sans doute combinée avec celle d'ensemble quotient).

Bon courage pour apprendre et comprendre.

[minushabens]

le point crucial dans la démonstration est la remarque que si x est un élément de G alors x(HnK) = xH n xK (je note "n" l'intersection).

[eudea-panjclinne]

qu'est ce que cela signifie que de montrer que c'est une application?

Si x=y alors F(x)=F(y), ce qui évite à un antécédent d'avoir deux images.

[sleinininono]

d'accord merci!

est ce que vous pourriez alors détailler un petit peu la preuve svp ? pcq je comprends toujours pas où l'on va... certes montrer l'injectivité a l'air trivial mais je ne comprends toujours pas pourquoi ça marche...

et ça c'est vrai ? (x(HnK) = xH n xK ) c'est immédiat?