Yule et l'évolution, calcul d'espérance

[Bartoutatis]

Bonjour,

Je lis actuellement le livre de Nicolas Bacaër Histoire de mathématique et de population, dans le chapitre Yule et l'évolution ou est présenter l'approche de se dernier pour rendre compte de la diversité des espèces après avoir résolu l'équation différentielle initial, où n est le nombre d'espèce, t et le temps, Pn(t) la probabilité pour qu'il y est n espèce à l'instant t, et rdt la probabilité qu'une espèce mute pendant l'intervalle de temps dt.

On obtient Pn(t) = d'où Yule tire que l'espérance du nombre d'espèce à l'instant t est égale à

.

Je n'arrive pas à comprendre comment est calculer le résultat de cette somme ?

Merci
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[albanxiii]

Bonjour,

Si je suis bien réveillé :



avec le bon changement de variable (). Cela ressemble à la dérivée d'une série entière que l'on sait calculer (et par chance on est dans son rayon de convergence).

[invite9dc7b526]

Remarque que si tu poses e^{-rt}=p tu reconnais la loi géométrique P(n)=p(1-p)^{n-1} dont la moyenne est bien 1/p