Bonjour
Mon problème est le suivant:
J'ai à démontrer que : Si I est un idéal de K[X], alors I={O} ou il existe un unique polynôme unitaire D tel que : I=(D)
Ce que je ne comprends vraiment pas, c'est ce que signifie les parenthèses ici ???
Merci d'avance
Il s'agit de l'idéal engendré par D.
Cordialement.
EDIT gratté par gg0..
Bonjour,
Cela désigne l'idéal engendré par les éléments mis entre parenthèses.
Ce qu'il est demandé ici de démontrer, c'est que tous les idéaux non triviaux sur l'anneau des polynômes à une seule variable* sont principaux, c'est à dire qu'ils peuvent être engendrés par un seul élément.
(penser aux propriétés de la division euclidienne (obtention du PGCD)).
*ce serait faux sur l'anneau des polynômes à deux variables ou plus
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Merci à vous deux pour vos réponses.
J'ai posé A={deg P, P € I\{0}}
j'en déduis donc que A possède un plus petit élément d qui appartient à N
d=min A, donc il existe un polynôme Q=ad(a indice d)X^d+ ad-1X^(d-1)....+ao
On pose alors D=ad^(-1)Q
D est uniatire de degré d et D € I ( car le produit ad^(-1)Q € I car ad^(-1) € K[X] et Q € I)
Je montre ainsi que I=(D)
L'inclusion (D)C I est évidente
Pour montrer l'autre inclusion , je suis bloqué....
J'ai pris un polynôme P dans I, et j'ai considéré sa division euclidienne par D : P= DQ + R, deg R<deg D=d
Mais alors R=P-DQ € I car ( I , +) sous groupe et deg R < d=min{deg S, S € I\{0}}
Ici pour terminer la démonstration sur I=(D) ( et pas l'unicité...) il faudrait nécessairement que R=0
mais je ne comprends vraiment pas pourquoi !
Merci d'avance
Tu es presque au bout de la démonstration. Ecris R=P-DQ. P et DQ sont dans I donc R aussi.
Oui ce que j'ai écrit.
Seulement je ne comprends pas pourquoi R=0 ? R € I et donc ?
Merci d'avance
Et son degré est ...
Cordialement.
