Equation différentielle Euler Lagrange

[Arves]

Bonjour,

Voilà, je suis bloqué sur la résolution d'une équation différentielle issue d'un problème classique de minimisation: exemple 4.2 de ce pdf http://internet.math.arizona.edu/~ja...Variations.pdf , qui propose une résolution p.13.

C'est seulement le passage de
sqrt(1 + y'(x)^2) - d/dx (y(x)×(y'(x)) / sqrt(1 + y'(x)^2)) = 0
à
yy''=y'^2+1

qui me pose problème... Ca semble évident à mon prof, à un bouquin sur le calcul variationnel, et à ce pdf, mais je ne vois vraiment pas comment ils font...
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[Resartus]

bonjour,
Il faut simplement appliquer les règles de dérivation usuelles (produit et quotient) au terme de droite (derrière le d/dx). Ensuite, en mettant au même dénominateur 1/(1+y'^2))^(3/2) on se rend compte qu'il y a des termes de cette dérivée qui peuvent se regrouper avec les termes de gauche.
Puis, sachant que ce facteur 1/sqrt(1+y(²))^3 n'est jamais nul, on pourra le supprimer de l'équation.

[Arves]

Merci beaucoup! Je vois maintenant que j'ai du m'enfoncer des jour durant dans des erreurs de calculs, car soudain ça m'apparaît évident, alors que j'ai tenté de nombreuses fois...

Mais à présent, la question que je me pose est la suivante: au début du problème, toujours dans le même pdf, on dérive F par rapport à y en considérant (pour des raisons qui par ailleurs m'échappent, mais soit) que le dénominateur, et donc y', est indépendant de y... Pourtant, par la suite, on donne

y'' = d(y')/dx = d(y')/dy * dy/dx = y' * d(y')/dy = 1/2 d(y'^2)/dy

D'où je conclus que d(y'^2)/dy = 2y'' , ce qui est contradictoire avec dF/dy = d(y*sqrt(1+y'^2))/dy = sqrt(1+y'^2) !!!

[jacknicklaus]

Ce sont deux cas différents; l'un avec dérivée partielle , l'autre dérivée totale

[A voir en vidéo sur Futura]