Démonstration sur les nombres premiers

[Meiosis]

Bonjour,

Je bloque sur une démonstration. Voici l'intitulé :

On définit comme étant la somme des diviseurs stricts (hormis n) d'un entier naturel n.
Pour un entier naturel n donné peut être un nombre premier.

1) Vérifier que satisfait cette condition.
2) Existe-t-il une infinité de étant des nombres premiers ?
3) Pour quelles valeurs de n est-il un nombre premier ?

Voici ce que j'ai fait.

1) . 3 est un nombre premier donc satisfait cette condition.

J'ai fait la 3 avant la 2.

3) Si n est un nombre premier alors .
Dans ce cas n'est pas premier donc déjà ça élimine toutes les valeurs pour lesquelles n est premier.

Si n est pair alors

Si n est impair et composé alors

En étudiant le cas où n est pair :

D'après le théorème de Wilson : est premier si et seulement si .

Autrement dit si

C'est-à-dire si

On remarque que et donc on peut réarranger l'expression ci-dessus.

On a

Soit

Soit

Il faut donc que k soit un entier.

Une conséquence du théorème de Wilson est que si k=2 alors n est un nombre premier (et bizarrement dans ce cas k est entier mais pourtant n'est pas premier car il vaut 1, je ne comprends pas).

Si k est un entier naturel différent de 2 alors on a n tel que est un nombre premier.

2) Je bloque cependant quand il faut montrer s'il y a une infinité de premiers.

Cela revient à montrer qu'il y a une infinité de n tels que avec k un entier naturel différent de 2.

Je vous remercie par avance.
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[eudea-panjclinne]

Voici un exercice curieux, si la première question est ridicule les deux autres restent des conjectures aujourd'hui, sauf erreur !
On peut cependant dire des choses sur cette fonction sigma(n)*.

sigma(n)* s'appelait, dans le temps, somme des parties aliquotes : quand sigma(n)*=n alors n est un nombre parfait.

si p premier>2 et a entier non nul, sigma(p^a)*=(p^a-1)/(p-1) sur lequel on ne peux pas dire grand chose sinon que ce n'est pas premier quand a est composé.

Pour n=2 sigma(2^a)*=2^a-1 ce qui est un nombre de Mersenne, on ne sait toujours pas aujourd'hui si il y a un nombre infini de nombres de Mersenne premiers.

La fonction associée Sigma(n)=sigma(n)*+n est plus sympathique car elle est multiplicative : si a et b sont premiers entre eux Sigma(ab)=Sigma(a) x Sigma(b), et Sigma(1)=1, on l'appelle somme des diviseurs d'un nombre.

Quant à résoudre les questions 2 et 3, c'est à mon avis autre chose !

[Meiosis]

Un programme python me donne bien les entiers n qui conviennent pour la question 3. Bien entendu il ne semble pas y avoir une expression précise pour la forme des entiers n, c'est l'anarchie (n=4,8,21,27,32,35...)

Pour ce qui est de savoir s'il y en a une infinité ou non (de n qui conviennent) je me suis rendu compte que cela revenait en effet à prouver l'infinité (ou non) des nombres de Mersenne premiers (expression 2^n-1 que l'on peut retrouver en partant du développement de sigma(n)).

C'est-à-dire (en réarrangeant l'expression de mon premier message) : la conjecture de l'infinité des nombres de Mersenne premiers est vraie s'il existe une infinité d'entiers naturels k différents de 2 de la forme avec n un entier naturel composé.

Pour l'origine de l'exercice : je me le suis créé moi-même et je ne pensais pas que ça allait être si compliqué.

[ansset]

Pour ce qui est de savoir s'il y en a une infinité ou non (de n qui conviennent) je me suis rendu compte que cela revenait en effet à prouver l'infinité (ou non) des nombres de Mersenne premiers (expression 2^n-1 .....

Je suis arrivé aussi à cette seule conclusion.
sauf que cette infinité n'est pas prouvée, elle est simplement conjecturée, ce qui est insuffisant comme démo objective .
( même si cette conjecture semble partagée par les mathématiciens , si je ne me trompe pas )

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Pour l'origine de l'exercice : je me le suis créé moi-même et je ne pensais pas que ça allait être si compliqué.

Ha, ça , je ne l'avais pas vu !
ceci explique très probablement l'impasse dans laquelle tu te trouves.

[eudea-panjclinne]

Pour l'origine de l'exercice : je me le suis créé moi-même et je ne pensais pas que ça allait être si compliqué.

Tout à fait excellent