Une démonstration originale de l'infinité des nombres premiers

[Médiat]

Bonjour,


Je suis tombé par hasard sur une démonstration originale de l'infinitude des nombres premiers :

On muni d'une topologie (et oui !) en définissant une base d'ouverts :


où (c'est à dire l'ensemble des entiers relatifs congrus à modulo )

C'est bien une base :
1)
2) Soit , alors

De plus, cette topologie possède 2 propriétés intéressantes :


1) Tous les ouverts de la base sont infinis, donc tous les ouverts sont infinis, donc tous les ensembles cofinis ne sont pas fermés
2) Les sont aussi fermés puisque :

Soit l'ensemble des nombres premiers, alors : n'est pas fermé (puisque cofini) donc ne peut être une union finie de fermés, donc est infini.

QED
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[pm42]

C'est très élégant, lumineux presque (j'adore la topologie).
Merci.

[Deedee81]

Salut,

Médiat, bravo, c'est joli.

Question, quand tu dis "je suis tombé dessus". Tu veux dire que tu l'as vue dans un article ou l'autre ou que tu as trouvé la démonstration en travaillant sur autre chose ?

[minushabens]

Le livre d'Aigner et Ziegler (Proofs from The Book) recense un certain nombre de preuves. Je ne sais plus si celle-là y est. J'aime bien la preuve de Chaitin, et celle d'Euler bien sûr. Les deux ont l'avantage de donner un peu plus d'information sur la fréquence des nombres premiers, que seulement le fait qu'il ne sont pas en nombre fini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Question, quand tu dis "je suis tombé dessus". Tu veux dire que tu l'as vue dans un article ou l'autre ou que tu as trouvé la démonstration en travaillant sur autre chose ?

Vu dans un article en travaillant sur autre chose, elle est due à Fürstenberg alors qu'il était encore étudiant

[Deedee81]

Vu dans un article en travaillant sur autre chose, elle est due à Fürstenberg alors qu'il était encore étudiant

D'accord, merci.

[Seirios]

Tiens, cela me rappelle l'un de mes vieux posts : Il existe une infinité de nombres premiers.