Polynome et racines multiples

[Valentin123]

Bonjour,

Dans un exercice on me demande : "À quelle condition sur a et sur b le polynôme P(X)=X^3+ax+b admet-il une racine multiple ?"

Je dispose du corrigé mais il n'est pas accompagné d'explications.

Voici ce qu'il y est écrit :

Soit Ø une racine de multiplicité >=2
P(Ø)=Ø^3+aØ+b

P'(Ø)=3Ø^2+a

P''(Ø)=6Ø

Il faut que Ø soit une racine diviseur de b

P(Ø) et P'(Ø) ont une racine commune mais P(Ø) et P''(Ø) n'en n'ont pas donc la racine est double.

Ensuite la division euclidienne de P/P' est effectuée et le reste R de cette division est utilisé pour calculer P'/R, on garde le reste de cette dernière division : a+(27b^2/4a^2)=0 et cette dernière équation donne les conditions demandées.


J'aimerais comprendre :
-Qu'est-ce qu'on peut conclure quant au nombre de racines en dérivant P ?
-Qu'est-ce qu'il se passe lorsque l'on divise P par sa dérivée ? Puis P' par le reste ?
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[gg0]

Bonjour.

u est une racine double au moins si et seulement si P(u)=P'(U)=0, ce qui donne
u^3+au+b=0
3u²+a=0

on en déduit u²=-a/3 et u(u²+a)=-b
donc u²=-a/3 et u(-a/3+a)=-b
u²=-a/3 et 2a/3 * u =-b
donc soit a=0, mais alors b=0, soit a est non nul et
u²=-a/3 et u=-3b/(2a)
en remplaçant u par sa valeur dans la première égalité, on trouve
9b²/(4a²)=-a/3
soit finalement la condition 27 b²+4a^3 = 0, vérifiée aussi si a=b=0
On peut vérifier que si 27 b²+4a^3 = 0, alors l'équation a une racine au moins double (triple seulement quand a=b=0).

Quant à ton "corrigé", je n'y comprends rien je ne sais même pas ce que veut dire "une racine diviseur de b". Et "P et P" n'ont pas de racine commune" est à priori faux (à moins que ton énoncé soit incomplet).

Cordialement.

[Valentin123]

Merci pour cette réponse claire et bien plus direct que ce que je voyais. Mon énoncé est bien complet et le corrigé vient d'un autre élève, ça peut tout aussi bien dépanner qu'induire en incompréhension. Heureusement qu'il y a des gens comme vous sur FS !