espérance du produit, PROBABILITES

[sleinininono]

Bonjour,

je cherche à comprendre la formule du produit de l'espérance : E(X*Y) où X et Y sont des variables aléatoires quelconques. J'ai trouvé la solution sur de nombreux sites et d'ailleurs, celle ci est écrite dans mon livre. Mon problème est l'étape:



En effet, je ne comprends pas pourquoi cette formule serait vraie.

J'ai deux pistes de réflexions. La première, utilisée la formule de l'espérance pour la composition d'une fonction g de la variable aléatoire ( ) mais ce n'est pas concluant... car la fonction qui multiplie par Y ne me permet pas de modifier ce qu'il y a dans la probabilité
(j'obtiens : )

Je pensais aussi à poser une V.A.

et alors logiquement on pourrait penser qu'il faut prendre toutes les valeurs X et Y multipliées par leur probabilité respective pour obtenir Z, mais alors j'ai l’impression que avec ma façon de réfléchir on trouve




bref rien de concluant. Auriez vous d'autres idées pour justifier l’égalité ?

je vous remercie.
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas compris ta première méthode, mais manifestement, l'absence des probas sur Y montre qu'elle est fausse.
la deuxième méthode est à utiliser correctement, on a

Puisque pour tous les z qui ne sont pas des produits d'une valeur possible de x par une valeur possible de y, la probabilité P(Z=z) est nulle, donc on ne la fait pas figurer dans la somme.
Ensuite, reste à décomposer l'événement Z=xy en événements plus simples, de la forme "X=a et Y=b" avec ab=xy.

Tu peux faire d'abord un exemple avec X qui prend les valeurs 10, 15, 20 et 30 et Y les valeurs 1,2 et 3, donc Z prend les valeurs 10,15,20,30,40,45,60,90.

Cordialement.

NB : la formule que tu donnes à la fin est correcte si X et Y sont indépendants.

[minushabens]

(...) X et Y sont des variables aléatoires quelconques

quelconques mais à valeurs entières, donc pas si quelconques finalement.

[gg0]

Heu ... pas nécessairement entières, mais vu qu'on calcule l'espérance avec une somme, elles sont discrètes. Il y a une formule analogue pour des variables à densité.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sleinininono]

D'accord merci Gg0. Bonne journée à vous !