Probabilités - Espérance et égalité presque sûre

[Rizmoth]

Bonjour !

Une question concernant l'espérance d'une variable aléatoire X. Est-il vrai que :


Il me semble avoir rencontré ça dans la correction d'un exercice. C'était avancé sans plus d'explications...Mais ça m'a paru étrange...

Parce que tel que je vois, on pourrait l'interpréter ainsi : si on lance une infinité de fois une pièce de monnaie équilibrée (pour pile, X = -1, pour face, X = 1, avec P(X=-1)=P(X = 1)=0.5)...on tomberait alors presque-sûrement sur...euh..ben...la tranche de la pièce ??

Il y a forcément un truc que j'ai loupé Peut-être sur les hypothèses propres à l'exercice en question.

Dans l'attente de vos lumières...

Cordialement,
Rizmoth.
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[phys4]

Bonjour,

Une question concernant l'espérance d'une variable aléatoire X. Est-il vrai que :

Cela me parait absurde également, il faudrait avoir espérance et variance nulles pour avoir cette implication.

Si la variance n'est pas nulle l'on peut écrire dans le cas d'une variable continue presque surement

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi "sur la tranche" ? La moyenne, l'espérance mathématique, n'a aucune raison d'être une valeur de la variable
En fait, tu as montré que cette propriété est fausse puisque si X est une variable prenant équiprobablement les valeurs -1 et 1, elle est de moyenne nulle et jamais nulle. Pour une variable continue, tu peux prendre une variable Normale centrée réduite.
Il faudrait savoir où tu as vu ça. Si c'est après une application de la loi du 0/1 de Kolmogorov, c'est différent. Sinon, je ne vois pas.

Cordialement.

[minushabens]

C'est si on a déjà X>=0 que EX=0 implique X=0 p.s.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rizmoth]

Pour remettre dans le contexte, voici l'énoncé de l'exercice en question :
Soient X, Y et Z trois V.A. mutuellement indépendantes et de carré intégrable. Montrer, en calculant leur covariance, que les V.A. X+Z et Y+Z ne sont indépendantes que si Z est presque sûrement constante.

Supposer X+Y et X+Z constantes (première implication) mène à var(Z) = E([Z - E(Z)]²) = 0.

il faudrait avoir espérance et variance nulles pour avoir cette implication

C'est si on a déjà X>=0 que EX=0 implique X=0 p.s.

Je comprend mieux : on est ici dans les deux cas que vous avez énoncé.
Car, en réalité, la variable en question ici était [Z - E(Z)]² (avec Z V.A), autrement dit...une V.A positive (du fait du carré).

Pourquoi "sur la tranche" ? La moyenne, l'espérance mathématique, n'a aucune raison d'être une valeur de la variable

Oui, je suis d'accord. Je voulais justement traduire le fait que, même si l'espérance est nulle, il n'y a absolument aucune raison que l'on tombe sur 0 (presque sûrement) à chaque tirage, étant donné que...0 est impossible à obtenir à un tirage donné (d'où l'idée de tomber sur la tranche).
Effectivement, dans le cas présent, ça n'est pas valable, aussi bien pour chacune des raisons avancées précédemment :
- la variance n'est pas nulle
- X n'est pas strictement positive

Merci à vous !

Cordialement,
Rizmoth.