Bonjour,

Dans un exercice que j'essaye de résoudre, deux urnes U1 et U2 contiennent respectivement 3 boules numérotées 1 et 3 boules numérotées 0.
Au cours de chaque épreuve, on tire une boule de chaque urne que l'on échange (la boule tirée depuis U1 est placée en U2 et réciproquement).
La variable aléatoire Xn correspond à la somme des nombres des boules dans l'urne U1 au bout de n échanges.

Dans un premier temps, on détermine P(Xn+1=k) en fonction de Xn.

L’événement Xn+1=k est réalisé:
- Lorsque Xn=k-1 et que l'on échange une boule n°0 de U1 avec une boule n°1 de U2
- Lorsque Xn=k et que l'on échange une boule 0 de U1 avec une boule 0 de U2 ou que l'on échange une boule 1 de U1 avec une boule 1 de U2.
- Lorsque Xn=k+1 et que l'on échange une boule 1 de U1 avec une boule 0 de U2.

En prenant en compte ces données ainsi que le nombre de boules 0 et 1 dans chaque urnes pour chaque cas, on obtient que l'on peut traduire par la matrice:



avec :



L'énoncé propose 2 autres matrices L et J:



On remarque que:



Puis on nous demande de déterminer E(Xn+1) en fonction de E(Xn) puis E(Xn)

Je pose:



Je remarque que les valeurs xi sont celles de la matrice L et on sait déjà que Un+1=AUn.
Est-ce que je peux dire que E(Xn+1)=LAUn et que E(Xn)=LUn?
Sinon, quels termes dois-je employer ?
Comment injecter E(Xn) dans E(Xn+1) en respectant les termes matriciels ?

Merci d'avance si vous pouvez me donner des indications !