Probabilités et espérance

[neoda]

Bonjour,

Voilà un petit problème qui s'énonce simplement :

Soit une liste de n nombres, mélangés aléatoirement. On considère que chaque nombre a une couleur : il y a k nombres rouges, et n-k nombres noirs. Pour i entre 1 et k, quelle est l'espérance de la somme des nombres noirs placés avant le i-ème nombre rouge ?

Je pense que les nombres rouges sont en moyenne placés uniformément parmi les nombres noirs, et donc que l'espérance de la somme des nombres noirs placés avant le i-ème nombre rouge est i/(k+1). Je n'y connais pas grand chose en probabilités et ce résultat est sûrement déjà connu. Est-ce l'un d'entre vous aurait une référence permettant de prouver (ou d'infirmer) cette conjecture ?

Merci !
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[julien_4230]

Bonjour,

Regardez du côté de la loi hypergéométrique.

[neoda]

Merci pour l'indication.

Je reprécise ma question, et surtout la conjecture, qui n'était pas claire :

Le problème est le suivant : on a n nombres, mélangés aléatoirement, dont k nombres noirs et n-k nombres noirs. La question est : pour i entre 1 et k, quelle est l'espérance de la somme des nombres noirs placés avant le i-ème nombre rouge ?
Ma conjecture est : l'espérance de la somme des nombres noirs placés avant le i-ème nombre rouge est i/(k+1)* la somme des nombres noirs.

On peut simplifier le problème en supposant que chaque nombre est égal à 1, et on représente chaque nombre par une boule tirée dans une urne : on a k boules rouges et (n-k) boules noires. La question est alors : quelle est l'espérance du nombre de boules noires tirées avant la i-ème boule rouge ? Je pense qu'il s'agit de (n-k)*i / (k+1).

Si on appelle p(i,k) la probabilité que la i-ème boule rouge soit tirée au k-ème tirage, alors l'espérance recherchée est la somme, pour i allant de 1 à n, de p(i,k)(k-1).
Mais je ne vois pas trop comment avec une loi hypergéométrique obtenir p(i,k) ? Je vois bien comment avoir la probabilité d'avoir x boules rouges parmi les k tirées, mais pas comment on peut en déduire p(i,k)...

Si quelqu'un a une idée, cela m'intéresse ! Si vous avez aussi un bon livre (ou site web) pour apprendre les probabilités à me conseiller, cela m'intéresse également.

Merci, et bonne journée,
Neoda.

Bonjour,

Regardez du côté de la loi hypergéométrique.

[neoda]

Bonjour,

J'ai finalement pu montrer (en étudiant ce qu'est une loi hypergéométrique - merci à julien_4230 pour la piste) que l'espérance du nombre de nombres noirs avant le i-ème nombres rouges est la formule suivante (je rappelle qu'on a k nombres rouges parmi n nombres) :

E = Sum_{x=i}^{n-k+i} ( k (x-i) C_{x-1}^{i-1} C_{n-x}^{k-i} ) / ( n C_{n-1}^{k-1})

Pour toutes les valeurs de k,n,i testées, ceci est bien égal à ce que je pensais, c'est à dire : (n-k) i / (k+1)

J'ai bien essayé de développer cette formule, notamment en transformant les combinaisons par des factorielles, mais je ne vois pas comment prouver que la formule E est bien égale à (n-k) i / (k+1) . Est-ce que l'un d'entre vous aurait une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[neoda]

Bonjour,
Pour info, j'ai finalement réussi à résoudre ce problème, en regardant les propriétés des combinaisons, comme indiquées par exemple sur la page wikipédia anglais.
Bonne journée à tous