Bonjour à tous,
Ayant une lacune sur le sujet, je recherche une démonstration de cette formule donnant l'ordre d'une puissance d'un élément d'un groupe :
ordre.png
Si l'un d'entre vous l'a dans un coin de son pc...
Merci par avance pour le coup de pouce.
L'ordre deest le plus petit
Ainsi,
Et on utilise ensuite la formule classique
Il suffit d'écrire la définition de l'ordre d'un élément, ça vient tout seul. Ca te paraîtrait sans-doute plus évident si la loi était notée additivement (ce que tu peux faire sans arrière-pensées, les puissances de a commutant).
Merci beaucoup pour ta réponse Tryss2,
Il y a cependant quelque chose que je ne comprends pas :
Je pense que tu voulais parler de l'ordre de a et pas de l'ordre de k non?donc km est le plus petit multiple de ord(k).
Je comprends bien que l'ordre de a doit diviser km (et donc que km est un multiple de a) et que km est un multiple de k, cependant pourquoi s'agit d'un plus petit commun multiple?
Merci par avance pour ta patience...
Oui, c'est bien ord(a) et non ord(k), désolé pour la faute de frappe.
km est un multiple commun à k et à l'ordre de m. Mais on cherche le plus petit k qui vérifie ça : km est donc le plus petit commun multiple
Merci beaucoup, j'ai compris maintenant.
minushabens, le problème c'est qu'en notation additive (par exemple pour l'ordre d'un élément du groupe additif Z/nZ), il y a quelque chose qui m'échappe dans la démonstration ci dessous (et dans toutes les autres du même style):
Je ne comprend pas pourquoi on prend n doit diviser kd et pas n doit diviser k....
Dans la démonstration, k est bien l'ordre non?
up
Si quelqu'un vieux bien se pencher sur ma question concernant la démo en notation additive...
Merci!
n est l'ordre de a, et k l'ordre de a^d.
Donc comme kd.a = 0, alors kd est un multiple de n
Bonjour,
Il n'y a pas d'élément "a" dans la preuve de la démonstration dans un groupe additif que j'ai inséré dans mon message d'hier soir, peut-être fais-tu référence à la démonstration d'hier en notation multiplicative ? C'est bien la preuve en additif que je ne comprends pas, la preuve que tu as donné en multiplicatif ne me pose plus de problème maintenant....
Merci.
Bonjour Frobenius.
"Je ne comprend pas pourquoi on prend n doit diviser kd " Ben ! c'est la pure traduction de
" et pas n doit diviser k" ?? Pourquoi penses-tu que n pourrait diviser k ?
Cordialement.
oui en effet, si w est congru à v modulo n, bien sûr n divise w-v, donc dans notre cas n divise w car v vaut 0 et donc tu as raison...
Je vais t'expliquer ce qui me chagrine, commençons par resituer les données afin qu'on parle le même langage au niveau de cette preuve : Z/nZ est un groupe additif, son neutre est 0 et son cardinal est n. Dans la preuve d est l'élément de Z/nZ dont on veut déterminer l'ordre (noté k). Donc la formule de l'ordre qui est
Or, d est un élément d'un groupe de cardinal n, donc k l'ordre de d doit diviser l'ordre du groupe dans lequel d se trouve (th.Lagrange) d'où ma remarque sur le fait que k doit diviser n
A voir exactement là ou je fabule, je dois faire une erreur de raisonnement...
Merci pour ton aide en tout cas.
Tu pars d'un groupe additif G et d'un élément a de G d'ordre n. On a donc na=0. Le sous-groupe de G engendré par a est isomorphe à Z/nZ mais dans cet isomorphisme il faut garder à l'esprit le fait que a devient 1 (ou un autre générateur). Maintenant tu cherches l'ordre dans le groupe G de b=ka, ce qui, traduit dans Z/nZ devient l'ordre de k.1=k, etc.
En quoi cette remarque rend-elle problématique la suite d'équivalences que tu cites ?
le fait que tu saches autre chose sur k (mais dans la suite d'équivalences, k n'est pas nécessairement l'ordre de d) ne rend pas fausses ces équivalences, ni la méthode qui en découle.
Cordialement.
Merci pour aide minushabens, par contre, j'ai un doute sur la cohérence entre tes notations et celle que j'ai utilisé dans mon message juste avant et du coup je comprends mal tes explications.
On se place dans le groupe Z/nZ et supposons que a soit un élément parmi d'autres de ce groupe. Supposons que k soit l'ordre de a (on ne le note pas n pour éviter des confusions avec l'ordre du groupe Z/nZ qui est de cardinal n). Donc l'ordre de a vérifie bien
Dans un groupe fini l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, c'est toujours vrai. Mais tu n'as pas besoin de supposer quel le groupe est fini.
Peut tu STP me dire là ou je me goure dans ce que j'ai écrit juste avant? Je sais que dans la finalité c'est vous qui avez raison mais je veux détecter mon erreur de raisonnement, il n'y que comme cela qu'on avance...
Merci pour ta patience en tout cas.
