Exercice racine cubique d'un complexe

[invite5eadf00c]

Bonjour à tous,

Je dois calculer la racine cubique de 8i

Le 8 ne me pose pas de problème, mais je dois maintenant trouver la racine cubique de i
J'ai donc calculé le module (=1) et l'argument de i
J'ai ainsi obtenu :

arg(i) = pi/2

En mettant ensuite i sous forme exponentielle et en mettant le tout à la puissance 1/3 j'obtiens :

(exp(i*pi/6)) ^(1/3)

Ce qui semble cohérent


Mais mon souci repose sur la solution générale :

L'argument de i devient donc

arg(i) = pi/2 + 2kpi (k entier relatif)

j'ai donc utilisé le même procédé en remplaçant l'argument par cette forme un peu plus générale
J'obtiens :

racine cubique de i = (exp(i(pi/2+2kpi)))^(1/3)

Est-ce correct ?
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[jacknicklaus]

Je dois calculer la racine cubique de 8i

ca commence mal. toute équation de degré 3 dans C ayant 3 solutions...

(exp(i*pi/6)) ^(1/3)

ben non. il faut prendre le problème dans l'autre sens : trouver (les) z tels que z³ = 8i

autre point : je rappelle que

[iPhysics]

Bonjour

Quel brol ! Commence par mettre sous forme exponentielle avant toute chose..

Tu auras alors

Et alors là tu pourras faire ton opération sans tout confondre



Avec les propriétés sur l'exponentielle tu devrais t'en sortir et avoir 3 racines.

N.B : Pense à utiliser LaTeX lorsque tu écris des maths, ce n'est pas bien compliqué .

[invitedd63ac7a]

Attention que la puissance 1/3 d'un complexe est une fonction multiforme, donc mal définie.
Il faut partir de l'équation z^3=8i, chercher le module et l'argument de chaque membre ce qui permettra d'écrire ensuite les 3 solutions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5eadf00c]

Effectivement, mes calculs étaient confus, je devais être fatigué au moment de rechercher cet exercice

J'ai bien obtenu la valeur de z que vous avez proposé

Mais sous quelle forme dois je mettre les 3 solutions de cette équation ?
Je dois avouer que je sèche complètement sur cette étape

Je vous remercie de m'aider

[iPhysics]

Les solutions sont en principe à exprimer, sauf indication contraire en forme trigonométrique ou exponentielle, en remplaçant les valeurs de k par, en l'occurrence, 0,1 et 2. En les plaçant ainsi sur le plan de Gauss, cela donnera un triangle équilatéral.