Calcul de matrice

[inviteda636378]

Bonjour et bonne année à tous,

Je suis bloqué sur mon dm de maths depuis quelques jours, voici l'énoncé : "le but de ce problème est de calculer les puissances successives de la matrice 3*3 A=(111 100 100).
1: calculer A² et A³ (ca j'y suis arrivé, et la calculatrice me confirme mes résultats) Vérifier qu'il existe 6 réels ⍺₁, β₁, ⍺₂, β₂, ⍺₃, β₃ tels que:
A=⍺₁A+β₁A², A ²=⍺₂A+β₂A², A³=⍺₃A+β₃A²
(la je bloque)
2: A l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier n strictement positif, il existe un couple de réels (⍺ n, β n) tel que :
A^n=⍺ nA+β nA²

Je ne comprends pas comment trouver les réels demandés.
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Pouvez-vous donner ce que vous avez trouvé pour et ? (remarque : moi je sais le faire, c'est pour vérifier que vous l'avez fait, c'est comme ça que nous fonctionnons sur ce forum : https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html).

[inviteda636378]

A²=311 111 111
a³=533 311 311

[gg0]

Bonjour.

A=⍺₁A+β₁A² a une solution évidente. A ²=⍺₂A+β₂A² aussi. Donc il ne reste qu'à traiter A³=⍺₃A+β₃A².

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda636378]

Pour A=⍺₁A+β₁A² je dirais que ⍺₁=1 et β₁=0
Pour A ²=⍺₂A+β₂A² ⍺₂=0 et β₂=1
Et c'est justement A³qui me pose surtout problème

[gg0]

As-tu regardé A³- A² ??

[iPhysics]

Bonjour,

comme dit plus haut les 2 premiers couples de réels paraissent évident.
Pour le dernier couple, on suppose ainsi que A est une combinaison linéaire de A^2 et A^3.
Qui dit combinaison linéaire dit système linéaire, je te conseille cette méthode qui marche mieux que "à tâton". Je te laisse le soin de le faire mais il n'est pas compliqué (Une équation correspond à un élément de même ligne et de même colonne pour chaque matrice)

[invite51d17075]

regarde la première colonne et cherche un truc simple.
puis verifie sur A3.
je n'ose te donner la réponse.

[inviteda636378]

D'accord merci à vous, j'essaierai ça demain et je vous donnerai ma réponse

[inviteda636378]

Effectivement c'était simple en réalité, j'ai trouvé ⍺3=2 et β3=1 grâce à vous. Merci beaucoup !

[invite51d17075]

ne reste donc que la question 2) , qui ne devrait pas poser de souci.