Calcul d'une Matrice
Bonsoir à tous ^^
Après avoir fait pas mal de recherches sur Internet, je ne trouve toujours pas la réponse à cette question:
Comment (ou pourquoi) le produit de deux Matrices (disons 2x2 vu mon niveau) se calculent comme on nous l'a enseigné?
Pourquoi on effectue une somme de produits pour chaque "éléments" d'une matrice (ex: a*b+c*d)? D'où ça vient?
Merci d'avance à ceux qui se pencherons sur la question!
La raison profonde(*) c'est qu'une matrice, ça représente une application linéaire, et que le produit des matrices, c'est équivalent à la composition des applications linéaires associées.
Dit comme ça, c'est un peu abstrait, alors plaçons nous dans le cas 2x2
Déjà, qu'est ce qu'une application linéaire?
C'est une fonctionqui vérifie les deux propriétés suivantes (le fait que ce soit de R² dans R², c'est pour simplifier et rester dans le cadre des matrices 2x2, on pourrait avoir une fonction de R^n dans R^m, on aurai alors des matrices nxm) :
1) Quelque soit x dans
2) Quelque soit x dans
On rappelle que
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) et c*(a,b) = (ca,cb)
Un exemple d'application linéaire pour les vecteurs du plan : une rotation de centre O, ou une symétrie d'axe qui passe par O
On peut alors montrer que toutes les applications linéaires de
Jusque là, pas de matrices. Mais on remarque que la fonction f est entièrement définie par 4 coefficients : a,b,c,d
Et là, des mathématiciens ont eu la bonne idée de mettre ces coefficients dans un tableau : une matrice
J'ai mis un f en indice de la matrice pour faire remarquer qu'il s'agit de la matrice de f (si on voulait être rigoureux, il faudrait aussi parler de base, mais ça ne me semble pas le coeur du sujet ici)
Du coup, si on note
Multiplier la matrice Mf par X, c'est calculer l'image du vecteur X par l'application linéaire f !
Et ça ne s'arrête pas là ! Si g est une autre application linéaire (toujours de R² dans R²), alors on a
Je te laisse faire les calculs
La multiplication des matrices, c'est donc "pareil" que la composition des applications linéaires. Et ça, c'est fort
Par exemple, on peut représenter les rotations dans l'espace par des matrices 3x3, et avec le produit matriciel, on peut calculer facilement la composée de plusieurs rotations
Ça permet aussi de faire le lien entre inverse d'une matrice et fonction réciproque de l'application linéaire
(*) : Je dis raison profonde, car historiquement, la multiplication des matrices à été inventée quelques années avant que l'on se rende compte de ça, mais c'est à partir du moment ou on s'est rendu compte qu'on pouvait faire le lien entre matrice et application linéaire que le calcul matriciel est devenu important.
J'espère que je ne me suis pas trop perdu en route, et que c'est compréhensible et adapté à ton niveau
Bonjour,
Une approche possible est de constater qu'un système d'équation linéaire (merci Tryss) n équation, m inconnues s'écrit sous la forme matricielle A.X=Y avec A une matrice rectangle X matrice colonne inconnue et Y matrice colonne donnée.
Cela généralise à la multiplication d'une matrice m.n avec une matrice colonne en utilisant peu d'outils.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Il y a aussi le produit scalaire, forme bilinéaire et matrice associée.
L'opération dans une base orthonormée correspond à la multiplication d'un vecteur ligne (transposé d'un vecteur colonne) et d'un vecteur colonne.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Produi...re_matricielle
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
