Calcul de matrice

[invite849a2c25]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire qui mélange intégration, ev et matrice et j'ai quelques petits problèmes ...

On note T(f) l'application de R dans lui-même définie par :


On note l'ensemble des polynômes de degrés inférieur ou égal à d et la matrice dans la base canonique C de la restriction de T à définie par :
: -->
f --> T(f)

On demande tout d'abord de déterminer
J'ai trouvé

Ensuite on demande de déterminer tous les réels \lambda tels que ne soit pas injective, où désigne la matrice unité.
J'ai trouvé
Ensuite on suppose qu'il existe une matrice P inversible et une matrice diagonale D telles que . On demande alors d'utiliser ce qu'on a fait avant pour préciser la matrice diagonale D puis de conclure.

La où je bloque est justement le calcul de D, je ne vois pas le rapport entre et le calcul fait avant,
j'ai tenté plusieurs choses comme calculer l'inverse de puisque celle-ci est inversible, ou alors de remplacer dans mais comme on ne connait pas P je ne vois vraiment pas comment faire
si quelqu'un aurait ne serait-ce qu'une piste de recherche ça m'aiderait beaucoup
Merci d'avance
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[invite0a963149]

je valide A3

[Tiky]

est non-injective si et seulement si n'est pas l'espace nul. C'est-à-dire si et seulement n'est pas inversible, où encore . Je suppose que tu n'as jamais fait de diagonalisation d'endomorphisme.

est un polynôme appelé polynôme caractéristique de . Si tu détermines ses racines, tu auras tous les cherchés (tu as déjà trouvé 2).

[invite849a2c25]

Non j'ai pas le souvenir d'en avoir fait,
mais j'ai det donc det ssi donc normalement j'ai bien qu'une seule valeur ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Effectivement, je n'avais pas remarqué que la matrice n'était pas diagonalisable :/. On te demande peut-être de montrer par l'absurde qu'elle n'est pas diagonalisable. Quelles seraient les valeurs de D si elle était diagonalisable ?

[invite849a2c25]

Mais comment supposer qu'elle soit diagonalisable si elle ne l'est pas ?
D'après ce que j'ai trouvé sur internet comme det ça veut dire que est la seule racine et son ordre de multiplicité est 4 mais le rang de la matrice est 2 donc effectivement elle n'est pas diagonalisable

[Tiky]

Étant donné que tu n'as pas vu la diagonalisation, on n'attend pas de toi que tu utilises cette proposition. Suppose que A3 est diagonalisable.

Que peux-tu dire de et . Tu en déduis les valeurs de la matrice diagonale D.

[invite849a2c25]

Si j'ai bien compris, en supposant diagonalisable, comme et D sont alors semblable, elles sont le même déterminant donc det=det
càd
(en appelant , , et les coeff de la matrice D)
et donc on aurait
est-ce bien cela ?

[Tiky]

Oui parfaitement. Maintenant tu montres que c'est absurde.

[invite849a2c25]

Ok super =D
merci beaucoup !