Continuité et dérivabilité de x^2 sin(1/x)

[cosmos99]

Bonjour à tous,

Soit

f(x) = x^2 sin(1/x) si x différent de 0
f(0) = 0 si x=0

1. En quels points de R f est elle continue ?

Pour cette question, j'ai montré que les limites en 0 à gauche et à droite de cette fonction ainsi que la limite en 0 étaient égales à 0
Mais je ne sais pas si cette condition est nécessaire pour prouver que f est continue sur R

2. f est elle dérivable en tout point de R* ?

f est dérivable sur R* en tant que produit de 2 fonctions dérivables sur R* (fonction carrée, fonction sinus)
Encore une fois, je ne sais pas si cette condition est nécessaire pour répondre à la question.
Et de quelle manière prouver que les fonctions carrée et sinus sont bien dérivables sur cet intervalle ?
Dois-je impérativement le prouver ou peut-t-on l'admettre comme une propriété ?

3. f est elle dérivable en 0 ? Si oui, exprimer sa dérivée en ce point

Pour cette dernière question, j'ai calculé lim(x->0) de f(x)-f(0) / x-0 et j'ai obtenu 0 en passant par le théorème des gendarmes. J'ai donc démontré que f était bien dérivable en 0

Mais je n'ai pas su trouver la dérivée de f en 0 étant donné que l'expression de f'(x) admet 0 en valeur interdite


Je vous remercie de m'éclairer

Bonne journée !
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[iPhysics]

Bonjour,

il me semble que

Prouver qu'il existe une valeur de cette limite dans R prouve sa dérivabilité en 0, et la réponse est la valeur de la dérivée.

Bonne journée

[iPhysics]

Pour la question 1, il est trivial de dire que la continuité s'applique sur car c'est une composée de fonctions usuelles. Prouver la continuité, c'est prouver que, aussi bien à gauche que à droite, les deux morceaux "collent", donc la limite à gauche et la limite à droite quand x tend vers 0 de cette fonction doit être égale à l'image en 0, soit 0. (est-ce clair ?)

EN ce qui est de la deuxième question, ta justification semble suffisante, mais si tu veux prouver qu'une fonction est dérivable sur un ensemble, prenons la fonction 1/x , tu appliques la définition :



Tu trouves ainsi la formule de la dérivée, et la valeur de la dérivée pour tout a, or ici il n'existe pas de dérivée pour a=0, ainsi la fonction est dérivable pour tout a différent de 0 donc pour tout

[Resartus]

Bonjour,
Vous avez dû faire une erreur de calcul à la question 3. La dérivée n'est pas définie en zero.
L'autre manière de le voir est en effet de calculer la dérivée, et d'étudier si elle a une limite en zéro. Or elle n'a pas de limite, car le terme en -cos(1/x) oscille de plus en plus vite entre -1 et 1 quand x tend vers zero

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Oups, oubliez ce que j'ai écrit. La fonction est bien dérivable en zero et sa dérivée vaut bien zero.
C'est juste que la fonction dérivée n'est pas continue en zero.

[cosmos99]

Merci à tous pour votre aide !
Je pense que vos réponses sont suffisantes pour que je termine mon exercice.

Bonne journée à vous