Continuité et dérivabilité
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Continuité et dérivabilité



  1. #1
    tpscience

    Continuité et dérivabilité


    ------

    Bonjour à tous,

    Je considère la fonction suivante : et si .

    Je cherche à montrer que cette fonction est dérivable en 1 et calculer sa valeur.

    Je comptais passer par la limite du taux d'accroissement mais je n'aboutis pas vraiment. Auriez-vous des idées ?

    Merci.

    -----

  2. #2
    maatty

    Re : Continuité et dérivabilité

    Bonsoir,

    je pense qu'en calculant le taux d'accroissement en 1 (en posant h=x-1) on arrive à un truc du genre ( ln(1+h)-h )/h^2 et en faisant un DL en 0 à l'ordre 2 de ln (1+h) on doit pouvoir s'en sortir..

  3. #3
    azizovsky

    Re : Continuité et dérivabilité

    ceci donne , elle est déjà définie par prolongement par continuité ...

  4. #4
    tpscience

    Re : Continuité et dérivabilité

    Bonjour, je voulais justement essayer de passer par une autre méthode qu'utiliser un DL en fait.

    Sinon azizovsky, cela ne suffit pas. Qui plus est, cette dérivée doit prendre la valeur -1/2.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Continuité et dérivabilité

    Bizarre, ce que tu racontes Azizovski.
    Tu crois vraiment que toutes les fonctions f telles que f(1)=1 vérifient f'(1)=0 ???

    Seul f(1) est défini par l'énoncé et est tel que f est continu.

  7. #6
    tpscience

    Re : Continuité et dérivabilité

    Effectivement.

    Auriez donc vous une idée pour résoudre cela sans encadrement par un DL ?

    Merci encore.

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Continuité et dérivabilité

    De façon artificielle, oui, en encadrant ln(1+h). Ce qui revient à utiliser le DL sans le dire.
    Pourquoi refuser d'utiliser les DL ?

  9. #8
    tpscience

    Re : Continuité et dérivabilité

    On n'est pas censé les avoir vus.

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Continuité et dérivabilité

    Alors on peut étudier, pour x positif, les fonctions
    f : x-->ln(1+x)-(x-x^2/2)
    g : x-->ln(1+x)-(x-x^2/2+x^3/3)
    et en déduire que x-x^2/2<=ln(1+x)<=x-x^2/2+x^3/3 (pour x >=0)
    Mais c'est de la prestidigitation : on cache qu'on a utilisé le DL en 0 de ln(1+x).

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