Continuité et Derivabilité

[invitef8775cef]

Bonjours a tous
je suis en premiere année IUT Mesure Physique ayant passé un bac STI genie electrotechnique j'ai quelque dificulté en mathematique et j'ai besoin de votre aide

j'ai un exercice a faire j'ai fait la premiere partie mais pas la seconde ...
" Etudier la continueté et la dérivabilité en 0 de la fonction f(x) = x - xE(x) "
E(x) c'est la fonction partie entiere de X
donc pour la continuité j'ai fait la limite en 0+ et 0-
je trouve 0+ a la limite de f(x) quand x tend vers 0+
f(0+) = 0+
et 0- a la limite de f(x) quand x tend vers 0-
F(0-) = 0-
donc j'en conclue que f(x) est bien continue en O
car la limite de f(x) quand x ->0+ existe ET lim (f(x)) quand x ->0+ =f (0+)

Mais pour la dérivabilité je ne vois pas comment faire j'ai la formule du cour mais je ne connais pas la dérivé de partie entienre de x donc j'aimerai que vous m'aidiez

Cordialement
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Ecris explicitement l'expression de f sur [0 ; 1[ et sur [-1 ; 0[ ... tu peux même tracer rapidos la courbe sur ces 2 intervalles, ... et regarde ce qui se passe en 0, ... tu auras tout de suite la réponse à ta question.

[invitef8775cef]

Je l'ai tracer sur la calculatrice y as une droite qui passe par 0 et après sa redescend dans les négatif mais je vois pas comment je peut répondre :/

[PlaneteF]

Je l'ai tracer sur la calculatrice y as une droite qui passe par 0 et après sa redescend dans les négatif mais je vois pas comment je peut répondre :/

Laisse bet la calculatrice (enfin c'est une expression sinon elle va se casser )

Par définition, que vaut E(x) sur [0 ; 1[ et sur [-1 ; 0[ ?

Et donc, que vaut alors f(x) sur [0 ; 1[ et sur [-1 ; 0[ ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Tu peux revenir à la définition, et calculer :

avec x proche de 0 et les deux cas x<0 et x>0.

Cordialement.

[invitef8775cef]

E(x) sur [0 ; 1[ = 0 et sur [-1 ; 0[ E(x) = - 1
Mais avec le reste de la fonction je sais pas comment faire

Avec la fonction
lim [f(x)-f(x0)] / x-x0
j ai lim [(0-)-(0+)] / [(0-)-(0+)]
Donc j ai rien de bon je devrai trouvé Une limite existante pas de +ou- infini et la j'ai une forme indéterminé

[PlaneteF]

E(x) sur [0 ; 1[ = 0 et sur [-1 ; 0[ E(x) = - 1
Mais avec le reste de la fonction je sais pas comment faire

Mais où est le problème ... tu remplaces tout simplement l'expression de E(x) que tu viens de donner dans celle de f(x) !!!

[invitef8775cef]

Je doit faire quoi pour prouvé que f(x) est dérivable ? Désole si je vous fait un peut galère je comprend pas ...

[PlaneteF]

Je doit faire quoi pour prouvé que f(x) est dérivable ? Désole si je vous fait un peut galère je comprend pas ...

Tu peux étudier , idem en , et comparer les 2 résultats, ...

Et c'est bien pour cela que tu as besoin de l'expression de sur et

[gg0]

Juu34,

je ne t'ai pas parlé de limite ! Pourquoi calcules-tu plus vite que ton cerveau ?
Tu n'as aucun intérêt à remplacer x et f(x) par leur limites dans le calcul d'une dérivée pour la bonne et simple raison que ça donne une forme indéterminée 0/0 par construction. Donc réfléchis avant d'écrire, et lis vraiment les réponses qu'on te fait (lis vraiment !).

Cordialement.

[invitef8775cef]

Et si je trouve le même résultat ça veut dire que f(x) et dérivable en 0 ?

[invitef8775cef]

C est dans mon cour cette formule c est pour sa que je comprend pas

[PlaneteF]

C est dans mon cour cette formule c est pour sa que je comprend pas

Je ne comprends pas sur quoi tu bloques, alors que l'on t'a donné tous les éléments pour répondre.

Récapitulons : Tu as dit toi-même que E(x)=0 sur [0 ; 1[, ... très bien, donc puisque dans tous les cas f(x)=x-xE(x) (et donc y compris sur [0 ; 1[), que vaut f(x) sur cet intervalle ? (remplace E(x) par 0 dans l'expression de f(x)) ... idem sur l'intervalle [-1 ; 0[ ...

Après, allez on va aller au plus simple sans même calculer de taux d'accroissement : Avec les 2 expressions ainsi trouvées tu verras que f est dérivable sur ]-1 ; 0[ et ]0 ; 1[, donc tu peux calculer f' sur ces 2 intervalles et donc tu peux calculer f'(0⁺) et f'(0^-), et comparer ... et c'est fini !

[invitef8775cef]

Et le x devant je laisse 0+ ou 0-
ce qui donnerai f(x)= 0+ sur [0;1[
et f(x)= 0- sur ]-1;0[
et je fait la derivé de sa ?

[gg0]

Mais pourquoi parles-tu de 0+ et de 0- ? Il n'y a pas de 0+ dans f(x) !!!<br>Tu as calculé des limites pour la continuité. C'est fini, on n'en parle plus. Maintenant c'est autre chose : Pour savoir s'il y a une dérivée, tu as un calcul à faire et à simplifier (c'est super facile !), puis à passer à la limite après. Fais ce calcul, enfin !

[invitef8775cef]

je prend f(x) = x en [0;1[ et f(x) = x - [x*(-1)] donc f(x) = 2x en ]-1;0[ ?

[invitef8775cef]

alors je remplace E(x)
sa fait donc
sur [0;1[ f(x)= x
et sur ]-1;0[ f(x) = x- [x*(-1)] = 2x ?

[invitef8775cef]

donc sur [0;1[ f'(0+)=1
et sur ]-1;0[ f'(0-) =2
f'(0+) different de f'(0-) donc la limite en 0 n'existe pas et f n'est pas derivable ?
mais f(x) est continue ?

[gg0]

Voila !

Si ton prof n'admet pas ce calcul "par prolongement", tu peux reprendre la définition de la dérivée et voir que les limites à gauche (2) et à droite (1) sont inégales, donc qu'il n'y a pas de limite, pas de dérivée.

Cordialement.

[invitef8775cef]

Merci beaucoup
la redaction comme j'ai fait au message precedent c'est bon ? j'ai le droi d'ecrire f'(0+)=1 et f'(0-) =2

[gg0]

Ce n'est pas une question de droit (avec un t à la fin). C'est une question de communication avec ton prof. Et éventuellement de rigueur (n'utiliser dans les preuves que les règles du cours).

[invitef8775cef]

Excusé moi pour les fautes d'ortographes ...
Merci encore pour toute votre aide =)

[PlaneteF]

donc sur [0;1[ f'(0+)=1

Je vais chipoter sur ce morceau de ta rédaction --> Pour plus de précision : Sur ]0 ; 1[ (intervalle ouvert aussi à gauche) la fonction f est dérivable et sa dérivée vaut f'(x)=1, ... et donc f'(0⁺)=1

... idem pour l'autre intervalle.