Démonstration formule triangle de Pascal

[invite65f51af9]

Bonsoir,

J'ai un petit problème concernant la démonstration par l'analyse combinatoire de la formule du triangle de Pascal. En fait, je ne comprends absolument pas comment on passe de la première à la deuxième ligne.

Spontanément, j'aurais multiplié le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la seconde fraction par le dénominateur de la première. Le problème est que je n'arrive pas à aller plus loin et je ne comprends pas comment passer de la première à la deuxième étape.

Merci d'avance pour votre aide!
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[gg0]

Bonsoir.

Sans voir ta pièce jointe (en cours de validation), je parie que c'est simplement que tu ne prends pas le dénominateur commun le plus simple.

Pour 1/(2*15)+2/(14*3), le dénominateur commun est 14*15 car 14 est un multiple de 2 et 15 un multiple de 3.

Cordialement.

[inviteea028771]

Une façon purement combinatoire (et de dénombrement), vu que ta piece jointe n'est pas encore validée :

Si il y a x façons de choisir k-1 éléments parmi n, et y façons de choisir k éléments parmi n, alors pour choisir k éléments parmi n+1, on peut :
- choisir le n+1 ème élément, et k-1 éléments parmi les n restant, et il y a x façons de le faire
- ne pas choisir le n+1 ème élément, et k éléments parmi les n restant, et il a y façons de le faire

Il y a donc x+y façons de choisir k éléments parmi n+1

D’où C(k,n+1) = C(k-1,n)+C(k,n)

[invite65f51af9]

Bonsoir.

Sans voir ta pièce jointe (en cours de validation), je parie que c'est simplement que tu ne prends pas le dénominateur commun le plus simple.

Pour 1/(2*15)+2/(14*3), le dénominateur commun est 14*15 car 14 est un multiple de 2 et 15 un multiple de 3.

Cordialement.

Effectivement, je ne prenais pas le dénominateur commun le plus simple. J'ai pu démontrer la formule assez facilement en appliquant la propriété que vous avez énoncée. Merci infiniment!

Une façon purement combinatoire (et de dénombrement), vu que ta piece jointe n'est pas encore validée :

Si il y a x façons de choisir k-1 éléments parmi n, et y façons de choisir k éléments parmi n, alors pour choisir k éléments parmi n+1, on peut :
- choisir le n+1 ème élément, et k-1 éléments parmi les n restant, et il y a x façons de le faire
- ne pas choisir le n+1 ème élément, et k éléments parmi les n restant, et il a y façons de le faire

Il y a donc x+y façons de choisir k éléments parmi n+1

D’où C(k,n+1) = C(k-1,n)+C(k,n)

C'est effectivement plus simple à visualiser de cette manière. Merci pour l'explication!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite501e8040]

Spontanément, j'aurais multiplié le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la seconde fraction par le dénominateur de la première. Le problème est que je n'arrive pas à aller plus loin et je ne comprends pas comment passer de la première à la deuxième étape.

tu peux faire ça ou alors prendre le dénominateur commun le plus simple, ça revient au même. Ce dont il faut se souvenir c'est que (x+1)!=(x+1).(x)!
Et donc dans la démo: (M-p)!=(M-p).(M-p-1)! de même que (p+1)!=(p+1).(p)!