Continuité et dérivabilité

[Jon83]

Bonjour!

J'étudie la fonction :
f(x)=x^2sin(1/x) si x est différent de 0
f(0)=0
Je dois démontrer que

Voici ce que j'ai fait:



Mais comment en déduire que f est dérivable en x=0?
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[Tiky]

Bonjour,

f est dérivable en 0 par définition si admet une limite finie en 0 lorsque x tend vers 0.

Au passage, pour faire des implications en latex, tu as \Rightarrow.

[invitec336fcef]

passer à la limite en étudiant les cas x>0 et x<0.

Cordialement.

[Tiky]

Pourquoi différencier le cas positif du cas négatif ? C'est totalement inutile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Bonjour,

f est dérivable en 0 par définition si admet une limite finie en 0 lorsque x tend vers 0.

Au passage, pour faire des implications en latex, tu as \Rightarrow.

OK! Donc d'après l'encadrement précédent, elle serait dérivable en x=0 et f'(0)=0 ???

[invitec336fcef]

oui vous avez raison, j'avais mal lu l'énoncé.

++

[invite57a1e779]

elle serait dérivable en x=0 et f'(0)=0 ?

Bien sûr !
L'encadrement , valable pour tout , prouve que le graphe de est "coincé" entre deux paraboles tangentes à l'axe Ox au point O : le graphe de est donc "contraint" de passer lui aussi par le point O en étant tangent à l'axe Ox.

[Jon83]

OK! Donc d'après l'encadrement précédent, elle serait dérivable en x=0 et f'(0)=0 ???

Et pourtant, si on calcule la dérivée pour x différent de 0, je trouve f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x).
Or, quand x tend vers 0, cos(1/x) n'a pas de limite. Où est la contradiction?

[invite57a1e779]

Ceci prouve simplement que la dérivée f' est discontinue en 0.

[Jon83]

Ceci prouve simplement que la dérivée f' est discontinue en 0.

Merci pour ta réponse! Mais n'est-elle pas contradictoire avec le message #7 ? J'avoue que je ne comprends plus....

[invite57a1e779]

On définit la fonction par :



et on prouve que cette fonction est dérivable avec :



qui se trouve être discontinue en 0.

Où est le problème ?

[Jon83]

On définit la fonction par :



et on prouve que cette fonction est dérivable avec :



qui se trouve être discontinue en 0.

Où est le problème ?

Merci pour tes précisions! C'est parfaitement clair... C'est moi qui n'y était plus!

D'ailleurs la question suivante est:

Démontrer que pour tout entier naturel non nul

En déduire que la fonction f' n'est pas continue en 0.

Une piste?

[Jon83]

Merci pour tes précisions!
Démontrer que pour tout entier naturel non nul

En déduire que la fonction f' n'est pas continue en 0.

Peut être, si je pose





Mais je ne vois pas comment déduire que f' n'est pas continue en 0 ???

[invite57a1e779]

Quelle est la limite de ?
Quelle est la limite de ?
Quel est le problème ?

[Tiky]

Utilise la négation de la caractérisation séquentielle de la continuité d'une fonction.

[Jon83]

Quelle est la limite de ?
Quelle est la limite de ?
Quel est le problème ?

limite qd n tend vers +infini de

la limite qd n tend vers + infini de

le problème: je ne vois pas comment conclure que f'(x) n'est pas continue ... c'est peut être évident mais ça m'échappe!

[invitec336fcef]

la définition de la continuité impose nécessairement que f' doit être définie en 0. Ce n'est pas le cas ici.

Cordialement.

[invitec336fcef]

Autre méthode, que l'on cherche à utiliser ici.

On a le théorème suivant : soit f une fonction continue en un point a. S'il existe une suite (xn) convergeant vers a, alors la suite f(xn) converge vers f(a).

Par contraposée, si vous trouvez une suite tendant vers a dont l'image ne tend pas vers f(a), alors la fonction est nécessairement discontinue. C'est ce que l'on vous suggère avec cette suite de nombre.