topologie

[invited0599245]

bonsoir à tous, je suis bloqué sur un problème...si quelqu'un pouvait m'aider

Étant donné un espace métrique (X, d), on désigne par Br(x) la boule ouverte de centre x et de rayon
r > 0 et par Br[x] la boule fermée de centre x et de rayon r > 0. Pour C C(inclus) X non vide, on pose
d(C,D) := inf{d(x, y) appartient à C, y appartient a D}


4) Soient C et D des fermés non vides tels que C intersection D vide ;.
a) Montrer que pour tout x C X, on a d(x,C) + d(x,D) > 0.On définit alors une fonction
f : X −> R par
f(x) = d(x,C)/(d(x,C) + d(x,D)).
Montrer que f est continue à valeurs dans [0, 1] et que f|C = 0 et f|D = 1 où f|E désigne la restriction
de f au sous-ensemble E C X.

pour le début j'ai montré que d(C,D)< ou égal à d(x,C)+d(x,D) avec xEX. je cherche donc à montrer que d(C,D) non nul.donc que inf(d(y,D)) non nul avec yEC. j'arrive à montrer que d(y,D) non nul en disant que s'il l'est c'est que yED ce qui est pas possible. mais l'inf me pose problème comment on peut savoir qu'il est non nul?
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[invite57a1e779]

Dans le plan R² muni de la distance euclidienne canonique, une hyperbole C est un fermé, une asymptote D de l'hyperbole est un autre fermé, l'intersection de ces fermés est vide, et pourtant : d(C,D)=0.

En fait, tu n'as pas besoin de faire intervenir la distance d(C,D) dans cette question puisque la définition de f ne fait intervenir que les distances d(x,C) et d(x,D) d'un point à un fermé non vide.

[Tiky]

Bonjour,

Pour compléter la réponse, commence par établir que pour toute partie D de X :
- est une fonction lipschitzienne.
- Si D est un fermé, alors

[invited0599245]

Je comprends pas la...je cherche à demontrer que d(x,C)+d(x,D)>0...je dois donc montrer que c'est non nul mais sans d(C,D) je vois pas comment arriver à cette inégalité...
tiky j'ai deja montré ça mais je vois pas comment l'utiliser ici. sinon je pensais je dis que d(x,C)+d(x,D)> ou égal à zero par définition des distances et que pour que ça fasse zero il faut que d(x,C)=0 et d(x,D)=0 donc que x appartienne a C et à D d'après Si D est un fermé, alors xED equivaut d(x,D)=0. Ceci est impossible donc inégalité stricte?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

je dis que d(x,C)+d(x,D)> ou égal à zero par définition des distances et que pour que ça fasse zero il faut que d(x,C)=0 et d(x,D)=0 donc que x appartienne a C et à D d'après Si D est un fermé, alors xED equivaut d(x,D)=0. Ceci est impossible donc inégalité stricte?

Oui, c'est ça.