Démo: conjugué d'une racine cubique d'un complexe = le carré de celui-ci

[invite3be40abf]

Bonjour,

Voici une petite démo à réaliser pour laquelle je cherche une méthode propre.

Si w désigne une racine cubique complexe de 1, comment montrer que son conjugué = w²?

Je l'ai fais en calculant le conjugué de chaque racine cubique de 1 et leur carré pour montrer l'équivalence.
Mais apparemment, cette méthode n'est pas digne d'une démonstration. Pourriez-vous m'aider quant à la manière de procéder pour démontrer cela?

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Ce que tu as fait semble correct, mais pour une preuve peut-être un peu plus courte, tu peux remarquer qu'il y a trois racines cubiques de l'unité : une réelle et deux purement complexes ; puis que si w est une telle racine, alors w² et également. Comme w=w² équivaut à w=0 ou 1, et équivaut à w réel, tu en déduis ta propriété.

En fait, cela revient à comparer les actions du carré et de la conjugaison sur les racines cubiques.

[Seirios]

Encore plus simple : puisque est de module 1.

[invite3be40abf]

Merci à toi!

Sympa la 2ème méthode

Bonne fin de journée

[A voir en vidéo sur Futura]