détermination d'un fermé

[frobenius]

Bonsoir,

Voilà un corrigé sur lequel je peine à comprendre.



Je butte sur le corrigé de la troisième question dans laquelle on doit confirmer que ]0,1] est un fermé pour la distance donné dans l'énoncé.

Ce que je crois avoir compris (mais pas si sûr):

- on prend une suite de points de ]0,1] convergente, on veut prouver que sa limite est dans ]0,1], ce qui permettra de caractériser le fermé
- on suppose que la limite est positive, donc cela donne
- pour la distance usuelle correspondant à la valeur absolue, on peut aussi voir le deuxième membre de l'expression ci dessus comme la convergence de vers , donc toujours pour cette métrique usuelle, tend vers (règles usuelles d'opération sur les limites)


Ce que je ne comprends pas bien :

- pourquoi le corrigé dit que vit dans [0,1] et pas dans ]0,1] comme dans l'énoncé?
- au final qu'est ce qu'on est parvenu à prouver : que tend vers mais çà on l'avait posé par hypothèse mais en quoi ça permet d'avancer sur le fait que appartiennent bien à ]0,1]?

Merci par avance de me désembrouiller la tête !
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[minushabens]

le problème il est du côté de 1, pas du côté de 0. On a supposé l>0 et on a montré l<=1