Continuité équivaut à image réciproque d'un fermé est un fermé

[Edvart]

Bonjour,

Je sèche complètement sur un problème que je pensais pourtant bien maîtriser. J'aimerais prouver que est continue si et seulement si toute image réciproque d'un fermé est un fermé (je suis sur le chapitre des espaces métriques, donc je pense que je peux considérer que E et F sont munis d'une distance)
Ce que je maîtrise :
- la double implication pour la version "ouverte" de cette propriété : continue si et seulement si toute image réciproque d'un ouvert est un ouvert
- répondre à la version "fermée" en trichant et en parlant de complémentaires qui sont des ouverts
- prouver la condition suffisante : continue implique tout image réciproque d'un fermé est un fermé

Mais je n'arrive vraiment pas à prouver la condition nécessaire : toute image réciproque d'un fermé est un fermé implique continue. Et j'ai séché toute l'aprem! Voilà ce que je me dis :

Supposons un fermé de , et posons . Soit une suite d'éléments de qui converge vers . Là déjà je commence à me sentir un peu dans la brume, je ne sais pas comment je dois utiliser mon . En tout cas pour ce , , , . Soit maintenant la suite d'éléments de telle que , (déjà j'ai de sérieux doute quant à la légitimité d'invoquer une telle suite : ce n'est pas parce que tous les éléments de E ont leur image dans F que tous les éléments de F ont un antécédent dans E pour autant, non?).

Là où j'en suis, j'aimerais bien qu'il soit évident que ma suite converge, mais je ne suis pas sûr que ça soit vrai! Ce n'est pas parce que des éléments de F sont voisins que leurs antécédents le sont non? J'ai l'impression que le "Supposons que tout fermé de Y a une image réciproque fermée" est crucial pour contraindre mes à être voisins, mais je ne vois pas comment.

Bref comme vous le voyez, je pédale dans la choucroute! Pourriez-vous me dépanner? Merci d'avance!
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[Tryss2]

(déjà j'ai de sérieux doute quant à la légitimité d'invoquer une telle suite : ce n'est pas parce que tous les éléments de E ont leur image dans F que tous les éléments de F ont un antécédent dans E pour autant, non?).

Oui, une telle suite n'existe pas nécessairement. Il ne faut pas partir d'une suite de Y, mais d'une suite de X :

En effet, tu veux démontrer que quelque soit la suite de X qui converge dans X vers un x, alors (caractérisation séquentielle de la continuité)

[Edvart]

Merci beaucoup pour ta réponse, désolé je n'ai pas pu te répondre plus tôt!

Du coup :

Soit fermé et supposons que est également fermé.
Soit aussi une suite d'éléments de E qui converge, et qui converge donc dans vers une limite .
Considérons alors , je veux montrer que cette suite converge, et qu'elle converge vers .

Mais quel argument me permet de dire que cette suite converge?

[Tryss2]

Je te donne une solution, qui passe par la notion de valeur d'adhérence :

Soit , une suite qui converge vers

Définissons





Alors :

, car est fermé (par hypothèse) et contient les pour

Donc , ainsi c'est une valeur d'adhérence de la suite

Si c'est la seule valeur d'adhérence, on a le résultat


Soit y une valeur d'adhérence de la suite . Soit r > 0 et considérons .

Alors contient une infinité de termes de la suite

Donc contient une infinité de termes de la suite

Or comme est fermé, il contient aussi la limite x de la suite .

Ainsi, ce qui entraine que

La suite a donc une unique valeur d'adhérence, f(x), et donc converge vers f(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Edvart]

Merci beaucoup pour cette réponse! Je n'aurais pas trouvé parce que j'étais persuadé que la démonstration devait forcément être triviale et donc je coinçais et j'enrageais. Merci beaucoup, c'est très clair.

[minushabens]

- répondre à la version "fermée" en trichant et en parlant de complémentaires qui sont des ouvert

en quoi est-ce tricher? La caractérisation de la continuité à l'aide des suites n'est équivalente à définition usuelle (avec les ouverts) que dans les espaces métrisables.

[Edvart]

Salut,

J'appellais ça "tricher" parce qu'à mon avis, le but de l'exercice était de se contenter de la caractérisation des fermés, la version ouverte est tellement directe...